Номер 16, страница 50 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Законы сохранения в механике. Задачи для повторения - номер 16, страница 50.

Условие.

16. Шарику массой 250 г, подвешенному на нити, сообщили минимальную скорость, при которой он ещё может описывать окружность в вертикальной плоскости. Определите силу натяжения нити при прохождении шариком положения равновесия.

Решение.

Дано:

$m = 250 \text{ г}$

$m = 0.25 \text{ кг}$

$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$T$ - сила натяжения нити в положении равновесия (нижней точке траектории).

Решение:

Минимальная скорость, при которой шарик может описать окружность в вертикальной плоскости, соответствует условию, когда сила натяжения нити в верхней точке траектории обращается в ноль ($T_в = 0$). В этот момент единственной силой, сообщающей центростремительное ускорение, является сила тяжести.

1. Рассмотрим силы, действующие на шарик в верхней точке траектории. По второму закону Ньютона в проекции на радиальную ось, направленную к центру окружности (вниз):

$T_в + mg = m a_ц$

где $T_в$ - сила натяжения нити в верхней точке, $m$ - масса шарика, $g$ - ускорение свободного падения, $a_ц = \frac{v_в^2}{L}$ - центростремительное ускорение, $v_в$ - скорость шарика в верхней точке, $L$ - длина нити (радиус окружности).

$T_в + mg = m \frac{v_в^2}{L}$

По условию минимальной скорости $T_в = 0$, следовательно:

$mg = m \frac{v_в^2}{L}$

Отсюда находим квадрат скорости в верхней точке:

$v_в^2 = gL$

2. Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии, чтобы найти скорость шарика в нижней точке (в положении равновесия). Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия. Тогда в нижней точке высота $h_н = 0$, а в верхней $h_в = 2L$.

Энергия в верхней точке: $E_в = \frac{mv_в^2}{2} + mgh_в = \frac{mv_в^2}{2} + mg(2L)$

Энергия в нижней точке: $E_н = \frac{mv_н^2}{2} + mgh_н = \frac{mv_н^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_в = E_н$:

$\frac{mv_н^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + 2mgL$

Подставим найденное ранее выражение для $v_в^2 = gL$:

$\frac{mv_н^2}{2} = \frac{m(gL)}{2} + 2mgL = \frac{5}{2}mgL$

Отсюда находим квадрат скорости в нижней точке:

$v_н^2 = 5gL$

3. Рассмотрим силы, действующие на шарик в положении равновесия (нижней точке траектории). По второму закону Ньютона в проекции на радиальную ось, направленную к центру окружности (вверх):

$T_н - mg = m \frac{v_н^2}{L}$

где $T_н$ - искомая сила натяжения нити в нижней точке. Выразим $T_н$:

$T_н = mg + m \frac{v_н^2}{L}$

Подставим выражение для $v_н^2 = 5gL$:

$T_н = mg + m \frac{5gL}{L} = mg + 5mg = 6mg$

4. Вычислим значение силы натяжения:

$T_н = 6 \cdot 0.25 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 14.7 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения нити при прохождении шариком положения равновесия равна $14.7 \text{ Н}$.