Номер 4, страница 51 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Статика. Гидростатика. Задачи для повторения - номер 4, страница 51.

Условие.

4. Лестница длиной 4 м приставлена к гладкой стене под углом 60° к горизонту (относительно пола). Коэффициент трения между полом и лестницей равен $1/3$. На какую высоту по лестнице может подняться человек? Массой лестницы пренебрегите.

Решение.

Дано

Длина лестницы $L = 4$ м

Угол наклона лестницы к горизонту $\alpha = 60^\circ$

Коэффициент трения между полом и лестницей $\mu = 1/3$

Массой лестницы можно пренебречь.

Стена гладкая (трение отсутствует).

Найти:

$h$ — максимальная высота, на которую может подняться человек.

Решение

Рассмотрим условие равновесия лестницы, когда человек поднялся на максимальное расстояние $x$ вдоль лестницы. В этот момент лестница находится на грани соскальзывания. На лестницу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести человека $P = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции со стороны пола $N_1$, направленная вертикально вверх.
3. Сила нормальной реакции со стороны гладкой стены $N_2$, направленная горизонтально.
4. Сила трения покоя со стороны пола $F_{тр}$, направленная горизонтально к стене. Поскольку лестница на грани соскальзывания, эта сила максимальна и равна $F_{тр} = \mu N_1$.

Запишем первое условие равновесия (сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю). В проекциях на оси координат (ось X — горизонтально, ось Y — вертикально):

По оси X: $N_2 - F_{тр} = 0 \implies N_2 = F_{тр}$

По оси Y: $N_1 - P = 0 \implies N_1 = P$

Учитывая, что $F_{тр} = \mu N_1$, получаем: $N_2 = \mu N_1 = \mu P$.

Запишем второе условие равновесия (сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю). Удобно выбрать точку опоры лестницы на пол в качестве оси вращения. В этом случае моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ равны нулю.

Момент силы тяжести человека $P$ (вращает по часовой стрелке): $M_P = -P \cdot (x \cos \alpha)$.

Момент силы реакции стены $N_2$ (вращает против часовой стрелки): $M_{N_2} = N_2 \cdot (L \sin \alpha)$.

Сумма моментов равна нулю:

$M_{N_2} + M_P = 0$

$N_2 L \sin \alpha - P x \cos \alpha = 0$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение $N_2 = \mu P$:

$(\mu P) L \sin \alpha - P x \cos \alpha = 0$

Сократим на $P$ (вес человека):

$\mu L \sin \alpha = x \cos \alpha$

Отсюда найдем максимальное расстояние $x$ вдоль лестницы, на которое может подняться человек:

$x = \frac{\mu L \sin \alpha}{\cos \alpha} = \mu L \tan \alpha$

Подставим известные значения:

$x = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \tan 60^\circ = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}$ м.

Высота $h$, на которую поднимется человек, связана с расстоянием $x$ через угол $\alpha$:

$h = x \sin \alpha$

Подставим значение $x$:

$h = \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right) \cdot \sin 60^\circ = \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{3 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2$ м.

Ответ: человек может подняться на высоту 2 м.