Номер 10, страница 51 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Статика. Гидростатика. Задачи для повторения - номер 10, страница 51.

Условие.

10. Деревянный шарик в подвешенном состоянии растягивает пружину на 5 см. Определите растяжение пружины, если шарик удерживают под водой той же пружиной в затопленном состоянии. Плотность дерева 400 кг/$м^3$.

Решение.

Дано:

Растяжение пружины в воздухе, $x_1 = 5$ см

Плотность дерева, $\rho_д = 400$ кг/м³

Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 0.05$ м

Найти:

Растяжение пружины в воде, $x_2$

Решение:

Рассмотрим два случая.

1. Шарик подвешен на пружине в воздухе.

В этом случае шарик находится в равновесии под действием двух сил: силы тяжести $F_т$, направленной вниз, и силы упругости пружины $F_{упр1}$, направленной вверх. Условие равновесия:

$F_{упр1} = F_т$

Сила упругости определяется по закону Гука: $F_{упр1} = k \cdot x_1$, где $k$ – жесткость пружины.

Сила тяжести равна $F_т = m \cdot g = \rho_д \cdot V \cdot g$, где $m$ – масса шарика, $V$ – его объем, а $g$ – ускорение свободного падения.

Приравнивая силы, получаем первое уравнение:

$k \cdot x_1 = \rho_д \cdot V \cdot g$ (1)

2. Шарик полностью погружен в воду и удерживается пружиной.

Поскольку плотность дерева ($\rho_д = 400$ кг/м³) меньше плотности воды ($\rho_в = 1000$ кг/м³), на шарик действует выталкивающая сила (сила Архимеда $F_А$), которая больше силы тяжести. Чтобы удержать шарик под водой, пружина должна тянуть его вниз. Таким образом, на шарик действуют три силы: сила Архимеда $F_А$ (вверх), сила тяжести $F_т$ (вниз) и сила упругости пружины $F_{упр2}$ (вниз).

Условие равновесия в этом случае:

$F_А = F_т + F_{упр2}$

Сила Архимеда равна $F_А = \rho_в \cdot g \cdot V$.

Сила упругости $F_{упр2} = k \cdot x_2$.

Подставляем выражения для сил в условие равновесия:

$\rho_в \cdot g \cdot V = \rho_д \cdot V \cdot g + k \cdot x_2$

Выразим отсюда силу упругости $k \cdot x_2$:

$k \cdot x_2 = \rho_в \cdot g \cdot V - \rho_д \cdot V \cdot g = (\rho_в - \rho_д) \cdot g \cdot V$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти $x_2$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{k \cdot x_2}{k \cdot x_1} = \frac{(\rho_в - \rho_д) \cdot g \cdot V}{\rho_д \cdot g \cdot V}$

Сократив одинаковые множители ($k, g, V$), получим:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{\rho_в - \rho_д}{\rho_д}$

Отсюда выражаем искомое растяжение $x_2$:

$x_2 = x_1 \cdot \frac{\rho_в - \rho_д}{\rho_д}$

Подставим числовые значения:

$x_2 = 5 \text{ см} \cdot \frac{1000 \text{ кг/м³} - 400 \text{ кг/м³}}{400 \text{ кг/м³}} = 5 \text{ см} \cdot \frac{600}{400} = 5 \text{ см} \cdot 1.5 = 7.5 \text{ см}$

Ответ: растяжение пружины составит 7.5 см.