Номер 5, страница 52 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Задачи для повторения - номер 5, страница 52.

Условие.

5. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул азота при температуре 27 °C?

Решение.

Дано:

Газ 1 - кислород ($O_2$)

Газ 2 - азот ($N_2$)

Температура азота, $t_{N_2} = 27 \text{ °C}$

Условие: $v_{кв, O_2} = v_{кв, N_2}$

Молярная масса кислорода, $M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Молярная масса азота, $M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Перевод в систему СИ:

Абсолютная температура азота: $T_{N_2} = 27 + 273.15 = 300.15 \text{ К}$ (для упрощения расчетов часто используют $T = t + 273$, тогда $T_{N_2} = 300 \text{ К}$)

Найти:

Температуру кислорода $T_{O_2}$

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с его абсолютной температурой и молярной массой соотношением:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура, $M$ — молярная масса газа.

Согласно условию задачи, средние квадратичные скорости молекул кислорода и азота равны:

$v_{кв, O_2} = v_{кв, N_2}$

Подставим в это равенство выражение для скорости:

$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}$

Сократим одинаковые множители ($3R$) в обеих частях уравнения:

$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{N_2}}{M_{N_2}}$

Из этого соотношения выразим искомую температуру кислорода $T_{O_2}$:

$T_{O_2} = T_{N_2} \cdot \frac{M_{O_2}}{M_{N_2}}$

Теперь подставим числовые значения (используя $T_{N_2} = 300 \text{ К}$):

$T_{O_2} = 300 \text{ К} \cdot \frac{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 300 \text{ К} \cdot \frac{32}{28} = 300 \text{ К} \cdot \frac{8}{7}$

$T_{O_2} = \frac{2400}{7} \text{ К} \approx 342.86 \text{ К}$

Округляя до целого значения, получаем $T_{O_2} \approx 343 \text{ К}$.

Чтобы найти температуру в градусах Цельсия, вычтем 273:

$t_{O_2} = 343 - 273 = 70 \text{ °C}$

Ответ: температура кислорода должна быть приблизительно равна $343 \text{ К}$ или $70 \text{ °C}$.