Номер 12, страница 53 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Задачи для повторения - номер 12, страница 53.

Условие.

12. Горизонтальный теплоизолированный сосуд сечением 0,5 м² разделён подвижным поршнем на две части. Одна часть заполнена азотом, другая — углекислым газом. Масса азота равна массе углекислого газа. Определите длину сосуда, если объём, занимаемый углекислым газом, составляет 0,02 м³.

Решение.

Дано:

Сечение сосуда, $S = 0.5 \text{ м}^2$
Объём углекислого газа, $V_{CO_2} = 0.02 \text{ м}^3$
Масса азота равна массе углекислого газа, $m_{N_2} = m_{CO_2} = m$
Молярная масса азота ($N_2$), $M_{N_2} = 28 \text{ г/моль} = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса углекислого газа ($CO_2$), $M_{CO_2} = 44 \text{ г/моль} = 44 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Длину сосуда, $L$.

Решение:

Сосуд разделён подвижным поршнем, который находится в равновесии. Поскольку сосуд расположен горизонтально, силы тяжести не влияют на равновесие газов. Условием равновесия поршня является равенство давлений газов по обе стороны от него:

$P_{N_2} = P_{CO_2} = P$

Так как сосуд теплоизолирован, и поршень, разделяющий газы, является подвижным (и, как правило, теплопроводным), система находится в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что температуры газов также равны:

$T_{N_2} = T_{CO_2} = T$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждого газа:

Для азота: $P V_{N_2} = \nu_{N_2} R T = \frac{m}{M_{N_2}} R T$

Для углекислого газа: $P V_{CO_2} = \nu_{CO_2} R T = \frac{m}{M_{CO_2}} R T$

где $V_{N_2}$ – объём азота, $m$ – масса каждого газа, $R$ – универсальная газовая постоянная.

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{P V_{N_2}}{P V_{CO_2}} = \frac{\frac{m}{M_{N_2}} R T}{\frac{m}{M_{CO_2}} R T}$

После сокращения одинаковых величин ($P, m, R, T$) получаем соотношение объёмов:

$\frac{V_{N_2}}{V_{CO_2}} = \frac{M_{CO_2}}{M_{N_2}}$

Отсюда можем найти объём, занимаемый азотом:

$V_{N_2} = V_{CO_2} \cdot \frac{M_{CO_2}}{M_{N_2}}$

Подставим числовые значения:

$V_{N_2} = 0.02 \text{ м}^3 \cdot \frac{44 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 0.02 \cdot \frac{44}{28} = 0.02 \cdot \frac{11}{7} = \frac{0.22}{7} \text{ м}^3$

Общий объём сосуда $V$ равен сумме объёмов азота и углекислого газа:

$V = V_{N_2} + V_{CO_2} = \frac{0.22}{7} \text{ м}^3 + 0.02 \text{ м}^3 = \frac{0.22 + 7 \cdot 0.02}{7} = \frac{0.22 + 0.14}{7} = \frac{0.36}{7} \text{ м}^3$

Общий объём сосуда также можно выразить через его длину $L$ и площадь поперечного сечения $S$:

$V = L \cdot S$

Отсюда находим длину сосуда:

$L = \frac{V}{S} = \frac{\frac{0.36}{7} \text{ м}^3}{0.5 \text{ м}^2} = \frac{0.36}{7 \cdot 0.5} = \frac{0.36}{3.5} = \frac{18}{175} \text{ м}$

Вычислим числовое значение:

$L \approx 0.102857 \text{ м} \approx 0.103 \text{ м}$

Ответ: $L \approx 0.103 \text{ м}$.