Номер 16, страница 53 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Задачи для повторения - номер 16, страница 53.

Условие.

16. В жидкость плотностью $800 \, \text{кг}/\text{м}^3$ погрузили открытую с обоих концов вертикально расположенную трубку длиной $80 \, \text{см}$. Затем плотно закрыли верхний конец трубки и достали её из жидкости. Половина трубки осталась заполнена этой жидкостью. Считая, что опыт проводился при нормальных условиях, определите, на какую глубину была опущена трубка вначале.

Решение.

Дано:

Плотность жидкости, $\rho = 800 \text{ кг/м³}$

Длина трубки, $L = 80 \text{ см}$

Опыт проводился при нормальных условиях, следовательно, атмосферное давление принимаем равным $P_0 \approx 10^5 \text{ Па}$.

Ускорение свободного падения принимаем равным $g \approx 10 \text{ м/с²}$.

$L = 80 \text{ см} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Глубину, на которую была опущена трубка вначале, $h$ — ?

Решение:

Рассмотрим два состояния системы (воздуха, запертого в трубке).

Состояние 1: Трубка погружена в жидкость на глубину $h$. Поскольку трубка открыта с обоих концов, уровень жидкости внутри и снаружи одинаков. Над жидкостью в трубке находится столб воздуха длиной $(L-h)$. Этот воздух находится под атмосферным давлением. После этого верхний конец трубки герметично закрывают. Параметры воздуха в этом состоянии:

Давление: $P_1 = P_0$

Объем: $V_1 = S \cdot (L-h)$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки.

Состояние 2: Трубку извлекли из жидкости. В ней остался столб жидкости высотой, равной половине длины трубки, то есть $L/2$. Над этой жидкостью находится запертый воздух, который теперь занимает верхнюю половину трубки. Параметры воздуха в этом состоянии:

Объем: $V_2 = S \cdot (L/2)$

Давление: $P_2$

Столб жидкости в трубке находится в равновесии. Снизу на него действует атмосферное давление $P_0$. Сверху на столб жидкости действует давление запертого воздуха $P_2$ и гидростатическое давление самого столба жидкости $\rho g (L/2)$. Условие равновесия:

$P_0 = P_2 + \rho g \frac{L}{2}$

Отсюда можно выразить давление воздуха в трубке в конечном состоянии:

$P_2 = P_0 - \rho g \frac{L}{2}$

Так как опыт проводился при нормальных условиях, можно считать, что температура воздуха в трубке не изменялась в процессе (процесс изотермический). Следовательно, можно применить закон Бойля-Мариотта:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

Подставим в это уравнение выражения для давлений и объемов из обоих состояний:

$P_0 \cdot S(L-h) = (P_0 - \rho g \frac{L}{2}) \cdot S\frac{L}{2}$

Сократим площадь поперечного сечения $S$:

$P_0 (L-h) = (P_0 - \rho g \frac{L}{2}) \frac{L}{2}$

Теперь выразим искомую глубину $h$:

$L-h = \frac{(P_0 - \rho g \frac{L}{2}) \frac{L}{2}}{P_0}$

$h = L - \frac{(P_0 - \rho g \frac{L}{2}) \frac{L}{2}}{P_0}$

Подставим числовые значения в систему СИ для расчетов:

Рассчитаем давление столба жидкости высотой $L/2$:

$\rho g \frac{L}{2} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{0.8 \text{ м}}{2} = 800 \cdot 10 \cdot 0.4 = 3200 \text{ Па}$

Теперь найдем давление воздуха в трубке в конечном состоянии $P_2$:

$P_2 = 10^5 \text{ Па} - 3200 \text{ Па} = 96800 \text{ Па}$

Подставим полученные значения в уравнение для $h$:

$h = 0.8 - \frac{96800 \cdot \frac{0.8}{2}}{10^5} = 0.8 - \frac{96800 \cdot 0.4}{100000}$

$h = 0.8 - \frac{38720}{100000} = 0.8 - 0.3872 = 0.4128 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $h = 41.28$ см.

Ответ: трубка была опущена вначале на глубину 41.28 см.