Номер 3, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 3, страница 54.

Условие.

3. Два точечных заряда 9 нКл и –4 нКл находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Где на прямой, соединяющей заряды, находятся точки, напряжённость электрического поля в которых равна нулю?

Решение.

Дано:

$q_1 = 9 \text{ нКл} = 9 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -4 \text{ нКл} = -4 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$d = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Координату точки $x$, в которой напряжённость суммарного электрического поля равна нулю.

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

где $k$ – электрическая постоянная, $q$ – величина заряда, а $r$ – расстояние от заряда до точки, в которой определяется напряжённость.

Расположим заряды на координатной оси $Ox$. Пусть положительный заряд $q_1$ находится в начале координат ($x_1 = 0$), тогда отрицательный заряд $q_2$ будет находиться в точке с координатой $x_2 = d = 20$ см.

Суммарная напряжённость поля $\vec{E}$ в любой точке на прямой является векторной суммой напряжённостей полей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых каждым зарядом: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Для того чтобы суммарная напряжённость была равна нулю ($\vec{E}=0$), векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Проанализируем возможные положения такой точки на оси $Ox$:

1. Между зарядами ($0 < x < d$). Поле от положительного заряда $q_1$ направлено вправо (от заряда). Поле от отрицательного заряда $q_2$ также направлено вправо (к заряду). Так как оба вектора сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.

2. Слева от заряда $q_1$ ($x < 0$). Поле от $q_1$ направлено влево, а поле от $q_2$ – вправо. Векторы направлены в противоположные стороны. Однако в этой области любая точка находится ближе к заряду $q_1$, который больше по модулю ($|q_1| > |q_2|$). Поскольку напряжённость поля убывает с квадратом расстояния, модуль напряжённости от большего заряда $q_1$ всегда будет превышать модуль напряжённости от меньшего заряда $q_2$. Следовательно, равенство $E_1 = E_2$ здесь невозможно.

3. Справа от заряда $q_2$ ($x > d$). Поле от $q_1$ направлено вправо, а поле от $q_2$ – влево. Векторы противонаправлены. В этой области точка находится дальше от большего по модулю заряда $q_1$ и ближе к меньшему по модулю заряду $q_2$. Это единственная область, где модули напряжённостей могут быть равны.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $x$ от заряда $q_1$. Тогда расстояние от этой точки до заряда $q_2$ составит $x - d$.

Запишем условие равенства модулей напряжённостей $E_1 = E_2$:

$k \frac{|q_1|}{x^2} = k \frac{|q_2|}{(x-d)^2}$

Сократим $k$ и подставим модули зарядов:

$\frac{9}{x^2} = \frac{4}{(x-d)^2}$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{3}{x} = \frac{2}{x-d}$

(Мы рассматриваем только положительные значения корней, так как $x$ и $x-d$ представляют собой расстояния и в нашей области $x > d$ они положительны).

Решим полученное уравнение:

$3(x-d) = 2x$

$3x - 3d = 2x$

$x = 3d$

Подставим значение $d = 20$ см:

$x = 3 \times 20 \text{ см} = 60 \text{ см}$

Таким образом, точка с нулевой напряжённостью находится на расстоянии 60 см от заряда $q_1 = 9$ нКл. Расстояние от этой точки до заряда $q_2 = -4$ нКл составляет $x-d = 60 - 20 = 40$ см.

Ответ:

Точка, в которой напряжённость электрического поля равна нулю, находится на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии 60 см от заряда 9 нКл и 40 см от заряда -4 нКл, со стороны заряда -4 нКл.