Номер 10, страница 55 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 10, страница 55.

Условие.

10. Заряженный шарик на изолирующей нити внесли в однородное электрическое поле, направленное горизонтально, при этом нить образовала с вертикалью угол $45^\circ$. Определите тангенс угла отклонения нити от вертикали при уменьшении заряда в 1,6 раза.

Решение.

Дано:

Начальный угол отклонения нити от вертикали: $\alpha_1 = 45^\circ$.

Отношение начального и конечного зарядов: $q_2 = \frac{q_1}{1.6}$.

Найти:

Тангенс конечного угла отклонения нити от вертикали: $\tan(\alpha_2) - ?$

Решение:

Заряженный шарик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленной вертикально вниз, силы натяжения нити $\vec{T}$, направленной вдоль нити, и электрической силы $\vec{F_e} = q\vec{E}$, направленной горизонтально, так как поле однородное и направлено горизонтально.

Запишем условие равновесия для шарика в векторной форме: $\vec{T} + m\vec{g} + \vec{F_e} = 0$.

Рассмотрим проекции сил на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX горизонтально в сторону действия электрической силы.

Для начального состояния с зарядом $q_1$ и углом отклонения $\alpha_1$ система уравнений равновесия выглядит так:

Проекция на ось OX: $F_{e1} - T_1 \sin(\alpha_1) = 0 \implies F_{e1} = T_1 \sin(\alpha_1)$

Проекция на ось OY: $T_1 \cos(\alpha_1) - mg = 0 \implies mg = T_1 \cos(\alpha_1)$

Разделив первое уравнение на второе, получим выражение для тангенса угла отклонения, не зависящее от силы натяжения нити:

$\frac{F_{e1}}{mg} = \frac{T_1 \sin(\alpha_1)}{T_1 \cos(\alpha_1)} = \tan(\alpha_1)$

Электрическая сила $F_{e1} = q_1 E$, где $E$ – напряженность электрического поля. Тогда:

$\frac{q_1 E}{mg} = \tan(\alpha_1)$

По условию, начальный угол $\alpha_1 = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$. Следовательно:

$\frac{q_1 E}{mg} = 1$

После уменьшения заряда шарика до значения $q_2$ нить отклонится на новый угол $\alpha_2$. Условие равновесия для нового состояния записывается аналогично:

$\frac{F_{e2}}{mg} = \tan(\alpha_2)$

Где $F_{e2} = q_2 E$. Тогда:

$\tan(\alpha_2) = \frac{q_2 E}{mg}$

По условию задачи, заряд уменьшился в 1,6 раза, то есть $q_2 = \frac{q_1}{1.6}$. Подставим это выражение в формулу для тангенса нового угла:

$\tan(\alpha_2) = \frac{\frac{q_1}{1.6} E}{mg} = \frac{1}{1.6} \cdot \frac{q_1 E}{mg}$

Мы уже установили, что $\frac{q_1 E}{mg} = 1$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\tan(\alpha_2) = \frac{1}{1.6} \cdot 1 = \frac{1}{1.6}$

Вычислим числовое значение:

$\tan(\alpha_2) = \frac{1}{1.6} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0.625$

Ответ: 0,625.