Номер 13, страница 55 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 13, страница 55.

Условие.

13. Два шарика радиусами 30 см и 60 см обладают зарядами 4 нКл и 5 нКл соответственно. Шарики соединяют тонкой проволокой. Определите заряды шариков после их соединения.

Решение.

Дано:

Радиус первого шарика, $r_1 = 30 \text{ см}$
Радиус второго шарика, $r_2 = 60 \text{ см}$
Начальный заряд первого шарика, $q_1 = 4 \text{ нКл}$
Начальный заряд второго шарика, $q_2 = 5 \text{ нКл}$

$r_1 = 0.3 \text{ м}$
$r_2 = 0.6 \text{ м}$
$q_1 = 4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = 5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Заряды шариков после соединения: $q'_1$ и $q'_2$.

Решение:

Когда два проводящих шарика соединяют проволокой, они образуют единую проводящую систему. Заряд в этой системе перераспределяется до тех пор, пока потенциалы на поверхности обоих шариков не станут одинаковыми. При этом суммарный заряд системы сохраняется.

1. Используем закон сохранения электрического заряда. Суммарный заряд системы до соединения равен суммарному заряду после соединения:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = q'_1 + q'_2$

Вычислим общий заряд:

$Q_{общ} = 4 \text{ нКл} + 5 \text{ нКл} = 9 \text{ нКл}$

Таким образом, после соединения $q'_1 + q'_2 = 9 \text{ нКл}$.

2. После перераспределения зарядов наступает электростатическое равновесие, при котором потенциалы шариков становятся равными:

$\phi'_1 = \phi'_2$

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным шаром на его поверхности, определяется формулой $\phi = k \frac{q}{r}$, где $k$ — коэффициент в законе Кулона, $q$ — заряд шара, $r$ — его радиус.

Приравнивая потенциалы шариков после соединения, получаем:

$k \frac{q'_1}{r_1} = k \frac{q'_2}{r_2}$

Отсюда следует, что заряды после соединения распределяются пропорционально радиусам шариков:

$\frac{q'_1}{r_1} = \frac{q'_2}{r_2} \implies q'_2 = q'_1 \frac{r_2}{r_1}$

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} q'_1 + q'_2 = 9 \text{ нКл} \\ q'_2 = q'_1 \frac{r_2}{r_1} \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$q'_1 + q'_1 \frac{r_2}{r_1} = 9 \text{ нКл}$

Вынесем $q'_1$ за скобки:

$q'_1 \left(1 + \frac{r_2}{r_1}\right) = 9 \text{ нКл}$

Подставим значения радиусов:

$q'_1 \left(1 + \frac{60 \text{ см}}{30 \text{ см}}\right) = 9 \text{ нКл}$

$q'_1 (1 + 2) = 9 \text{ нКл}$

$3q'_1 = 9 \text{ нКл}$

$q'_1 = \frac{9 \text{ нКл}}{3} = 3 \text{ нКл}$

Теперь найдем заряд второго шарика $q'_2$, используя закон сохранения заряда:

$q'_2 = 9 \text{ нКл} - q'_1 = 9 \text{ нКл} - 3 \text{ нКл} = 6 \text{ нКл}$

Ответ: заряд шарика радиусом 30 см станет 3 нКл, а заряд шарика радиусом 60 см станет 6 нКл.