Номер 20, страница 56 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электростатика. Задачи для повторения - номер 20, страница 56.

Условие.

20. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью $C$ подключили к источнику напряжения $U$. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами конденсатора в 2 раза?

Решение.

Дано

Начальная ёмкость конденсатора: $C_1 = C$

Напряжение источника: $U$

Начальное расстояние между пластинами: $d_1$

Конечное расстояние между пластинами: $d_2 = 2d_1$

Конденсатор остаётся подключенным к источнику, следовательно, напряжение на нём постоянно: $U_{const} = U$

Найти:

Работу внешней силы: $A$

Решение

Работа $A$, которую необходимо совершить для увеличения расстояния между пластинами, определяется из закона сохранения энергии. Работа, совершаемая внешней силой ($A$) и источником напряжения ($A_{ист}$), идёт на изменение энергии, запасённой в конденсаторе ($\Delta W$).

$A + A_{ист} = \Delta W = W_2 - W_1$

Отсюда работа внешней силы равна:

$A = \Delta W - A_{ист}$

Найдём все составляющие этой формулы.

1. Энергия конденсатора. Энергия конденсатора вычисляется по формуле $W = \frac{C U^2}{2}$.

Начальная энергия конденсатора (до раздвижения пластин):

$W_1 = \frac{C_1 U^2}{2} = \frac{C U^2}{2}$

Ёмкость плоского воздушного конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его пластинами: $C = \frac{\epsilon_0 S}{d}$. Если расстояние $d$ увеличивается в 2 раза, то ёмкость $C_2$ уменьшается в 2 раза по сравнению с начальной ёмкостью $C_1=C$.

$C_2 = \frac{C_1}{2} = \frac{C}{2}$

Поскольку конденсатор остаётся подключенным к источнику, напряжение на нём не изменяется. Конечная энергия конденсатора (после раздвижения пластин):

$W_2 = \frac{C_2 U^2}{2} = \frac{(C/2) U^2}{2} = \frac{C U^2}{4}$

Изменение энергии конденсатора:

$\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{C U^2}{4} - \frac{C U^2}{2} = -\frac{C U^2}{4}$

2. Работа источника. Работа источника равна произведению заряда $\Delta q$, прошедшего через него, на напряжение $U$: $A_{ист} = \Delta q \cdot U$.

Начальный заряд на конденсаторе: $q_1 = C_1 U = CU$.

Конечный заряд на конденсаторе: $q_2 = C_2 U = \frac{C}{2} U$.

Изменение заряда на конденсаторе равно $\Delta q_{конд} = q_2 - q_1 = \frac{C}{2} U - CU = -\frac{CU}{2}$.

Это же количество заряда прошло через источник. Знак "минус" показывает, что заряд вернулся от конденсатора к источнику. Следовательно, источник не совершал работу, а получал энергию, и его работа отрицательна.

$A_{ист} = \Delta q_{конд} \cdot U = \left(-\frac{CU}{2}\right) \cdot U = -\frac{CU^2}{2}$

3. Работа внешней силы. Подставим найденные значения $\Delta W$ и $A_{ист}$ в исходную формулу:

$A = \Delta W - A_{ист} = \left(-\frac{CU^2}{4}\right) - \left(-\frac{CU^2}{2}\right) = -\frac{CU^2}{4} + \frac{2CU^2}{4} = \frac{CU^2}{4}$

Ответ: $A = \frac{CU^2}{4}$