Номер 4, страница 56 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Законы постоянного тока. Задачи для повторения - номер 4, страница 56.

Условие.

4. Стальной провод, по которому шёл электрический ток, заменили медным. Во сколько раз уменьшились диаметр и масса провода, если его сопротивление стало меньше в 2 раза?

Решение.

Дано:

Провод 1 - сталь

Провод 2 - медь

$\frac{R_1}{R_2} = 2$

$l_1 = l_2 = l$ (подразумевается, что заменяется провод такой же длины)

Справочные данные:

Удельное сопротивление стали: $ρ_1 \approx 0,12 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

Удельное сопротивление меди: $ρ_2 \approx 0,017 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

Плотность стали: $p_1 = 7800$ кг/м³

Плотность меди: $p_2 = 8900$ кг/м³

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$\frac{d_1}{d_2}$ — ?

$\frac{m_1}{m_2}$ — ?

Решение:

Используем индексы "1" для стального провода и "2" для медного.

Во сколько раз уменьшился диаметр провода

Сопротивление проводника определяется формулой $R = \frac{ρl}{S}$, где $ρ$ – удельное сопротивление, $l$ – длина, а $S$ – площадь поперечного сечения. Для провода круглого сечения $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Тогда формула сопротивления принимает вид:

$R = \frac{4ρl}{\pi d^2}$

Запишем выражения для сопротивлений стального ($R_1$) и медного ($R_2$) проводов, считая их длину $l$ одинаковой:

$R_1 = \frac{4ρ_1l}{\pi d_1^2}$

$R_2 = \frac{4ρ_2l}{\pi d_2^2}$

По условию задачи $R_1 = 2R_2$. Подставим выражения для сопротивлений:

$\frac{4ρ_1l}{\pi d_1^2} = 2 \cdot \frac{4ρ_2l}{\pi d_2^2}$

Сократив одинаковые множители ($4, l, \pi$), получим:

$\frac{ρ_1}{d_1^2} = \frac{2ρ_2}{d_2^2}$

Отсюда выразим отношение квадратов диаметров, которое показывает, во сколько раз изменился квадрат диаметра:

$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{ρ_1}{2ρ_2}$

Чтобы найти, во сколько раз уменьшился сам диаметр, извлечем квадратный корень:

$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{ρ_1}{2ρ_2}}$

Подставим табличные значения удельных сопротивлений:

$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{0,12 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 0,017 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{0,12}{0,034}} \approx \sqrt{3,53} \approx 1,88$

Ответ: Диаметр провода уменьшился в 1,88 раза.

Во сколько раз уменьшилась масса провода

Масса провода вычисляется по формуле $m = pV = pSl$, где $p$ – плотность материала, $V$ - объем.

Найдем отношение масс стального ($m_1$) и медного ($m_2$) проводов:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{p_1 S_1 l}{p_2 S_2 l} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Отношение площадей поперечного сечения равно отношению квадратов диаметров: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{ρ_1}{2ρ_2}$.

Подставим это выражение в формулу для отношения масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{ρ_1}{2ρ_2}$

Подставим числовые значения плотностей и удельных сопротивлений:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{7800}{8900} \cdot \frac{0,12 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 0,017 \cdot 10^{-6}} \approx 0,876 \cdot \frac{0,12}{0,034} \approx 0,876 \cdot 3,53 \approx 3,09$

Ответ: Масса провода уменьшилась в 3,09 раза.