Номер 18, страница 55 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электростатика. Задачи для повторения - номер 18, страница 55.

Условие.

18. В пространство между пластинами конденсатора внесли металлическую пластинку толщиной 2 мм параллельно пластинам. Площади пластин и площадь металлической пластинки одинаковы. Первоначально конденсатор зарядили до разности потенциалов 100 В и отключили от источника напряжения. Расстояние между пластинами конденсатора 4 мм. Определите напряжение на конденсаторе после того, как в него внесли металлическую пластинку.

Решение.

Дано:

Толщина металлической пластинки $b = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Первоначальная разность потенциалов $U_1 = 100 \text{ В}$

Расстояние между пластинами конденсатора $d = 4 \text{ мм} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Напряжение на конденсаторе после внесения пластинки $U_2$.

Решение:

1. Начальное состояние. Емкость плоского конденсатора до внесения пластинки определяется формулой:

$C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между ними.

Конденсатор зарядили до напряжения $U_1$ и отключили от источника. Это означает, что заряд на пластинах конденсатора $q$ остается постоянным в течение всего процесса. Начальный заряд равен:

$q = C_1 U_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} U_1$

2. Конечное состояние. После внесения металлической пластинки толщиной $b$ параллельно пластинам конденсатора, система эквивалентна двум последовательно соединенным воздушным конденсаторам. Общее расстояние, занятое диэлектриком (воздухом), теперь составляет $d - b$.

Новая емкость системы $C_2$ будет такой же, как у конденсатора с расстоянием между пластинами, равным $d-b$:

$C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d-b}$

Это связано с тем, что внутри металлической пластинки (проводника) электрическое поле равно нулю, и вся пластинка имеет одинаковый потенциал. Таким образом, разность потенциалов создается только в воздушных зазорах, общая толщина которых равна $d-b$.

3. Нахождение нового напряжения. Поскольку заряд $q$ на пластинах остался неизменным, мы можем написать:

$q = C_2 U_2$

Приравнивая выражения для заряда в начальном и конечном состояниях, получаем:

$C_1 U_1 = C_2 U_2$

Отсюда выразим конечное напряжение $U_2$:

$U_2 = U_1 \frac{C_1}{C_2} = U_1 \frac{\frac{\varepsilon_0 S}{d}}{\frac{\varepsilon_0 S}{d-b}} = U_1 \frac{d-b}{d}$

4. Вычисление. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$U_2 = 100 \text{ В} \cdot \frac{4 \text{ мм} - 2 \text{ мм}}{4 \text{ мм}} = 100 \text{ В} \cdot \frac{2}{4} = 100 \text{ В} \cdot 0.5 = 50 \text{ В}$

Ответ: $50 \text{ В}$.