Номер 16, страница 55 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 16, страница 55.

Условие.

16. Два электрона располагаются на большом расстоянии друг от друга. Один электрон покоится, а другой движется к первому со скоростью 1000 км/с. Определите минимальное расстояние сближения электронов.

Решение.

Дано:

Масса электрона: $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Заряд электрона: $e = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Начальная скорость движущегося электрона: $v_0 = 1000$ км/с

Начальная скорость покоящегося электрона: $v_1 = 0$

Электрическая постоянная: $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 1000 \text{ км/с} = 1000 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 10^6 \text{ м/с}$

Найти:

$r_{min}$ - минимальное расстояние сближения электронов.

Решение:

Данную задачу можно решить с помощью законов сохранения энергии и импульса. Система из двух электронов является замкнутой, так как внешние силы на нее не действуют (или их действием можно пренебречь).

1. Закон сохранения импульса.

В начальный момент времени, когда электроны находятся на большом расстоянии друг от друга, импульс системы равен импульсу движущегося электрона, так как второй электрон покоится.

$p_{нач} = m_e v_0 + m_e \cdot 0 = m_e v_0$

В момент максимального сближения (на расстоянии $r_{min}$) оба электрона будут двигаться с одинаковой скоростью $u$, так как их относительная скорость в этот момент равна нулю. Импульс системы в этот момент будет равен:

$p_{кон} = m_e u + m_e u = 2 m_e u$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{нач} = p_{кон}$:

$m_e v_0 = 2 m_e u$

Отсюда находим скорость электронов в момент максимального сближения:

$u = \frac{v_0}{2}$

2. Закон сохранения энергии.

Полная энергия системы также сохраняется. В начальный момент времени, когда расстояние между электронами велико, их потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь. Полная начальная энергия системы равна кинетической энергии налетающего электрона:

$E_{нач} = \frac{m_e v_0^2}{2}$

В момент максимального сближения полная энергия системы состоит из суммарной кинетической энергии двух электронов и их потенциальной энергии электростатического взаимодействия:

$E_{кон} = \frac{m_e u^2}{2} + \frac{m_e u^2}{2} + \frac{k e^2}{r_{min}} = m_e u^2 + \frac{k e^2}{r_{min}}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{m_e v_0^2}{2} = m_e u^2 + \frac{k e^2}{r_{min}}$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для скорости $u = \frac{v_0}{2}$:

$\frac{m_e v_0^2}{2} = m_e (\frac{v_0}{2})^2 + \frac{k e^2}{r_{min}}$

$\frac{m_e v_0^2}{2} = \frac{m_e v_0^2}{4} + \frac{k e^2}{r_{min}}$

Теперь выразим из уравнения $r_{min}$:

$\frac{k e^2}{r_{min}} = \frac{m_e v_0^2}{2} - \frac{m_e v_0^2}{4} = \frac{m_e v_0^2}{4}$

$r_{min} = \frac{4 k e^2}{m_e v_0^2}$

3. Вычисления.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$r_{min} = \frac{4 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м²/Кл²}) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ м/с})^2}$

$r_{min} = \frac{36 \cdot 10^9 \cdot 2.5664 \cdot 10^{-38}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{12}} \text{ м}$

$r_{min} = \frac{92.39 \cdot 10^{-29}}{9.11 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \approx 10.14 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

$r_{min} \approx 1.014 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Ответ: Минимальное расстояние сближения электронов составляет примерно $1.014 \cdot 10^{-9}$ м или 1.014 нм.