Номер 9, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электростатика. Задачи для повторения - номер 9, страница 54.

Условие.

9. Два положительных заряда $5 \text{ нКл}$ и $3 \text{ нКл}$ находятся на расстоянии $20 \text{ см}$ друг от друга. В какой точке надо поместить третий точечный заряд, чтобы он оказался в состоянии равновесия?

Решение.

Дано:

$q_1 = 5 \text{ нКл}$

$q_2 = 3 \text{ нКл}$

$R = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$q_1 = 5 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = 3 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$R = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Положение $x$ третьего заряда, при котором он будет находиться в равновесии.

Решение:

Для того чтобы третий точечный заряд $q_3$ находился в состоянии равновесия, необходимо, чтобы векторная сумма сил, действующих на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, была равна нулю. По первому закону Ньютона:

$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$

Из этого следует, что силы Кулона $\vec{F}_1$ (со стороны заряда $q_1$) и $\vec{F}_2$ (со стороны заряда $q_2$) должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны:

$|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2|$

Поскольку оба заряда $q_1$ и $q_2$ положительные, силы, действующие на третий заряд $q_3$ (независимо от его знака), будут направлены в противоположные стороны только в том случае, если заряд $q_3$ расположен на прямой, соединяющей $q_1$ и $q_2$, и находится между ними.

Пусть заряд $q_1$ находится в начале координат, а заряд $q_2$ на расстоянии $R$ от него. Обозначим расстояние от заряда $q_1$ до искомой точки равновесия как $x$. Тогда расстояние от заряда $q_2$ до этой точки будет равно $(R - x)$.

Согласно закону Кулона, модули сил, действующих на заряд $q_3$, определяются формулами:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_3|}{x^2}$

$F_2 = k \frac{|q_2 q_3|}{(R-x)^2}$

Приравняем модули этих сил, чтобы выполнить условие равновесия:

$k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{(R-x)^2}$

Сократим общие множители $k$ (электрическая постоянная) и $|q_3|$ (модуль третьего заряда). Отсюда видно, что положение равновесия не зависит от величины и знака третьего заряда.

$\frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(R-x)^2}$

Так как заряды $q_1$ и $q_2$ положительные, можно убрать знаки модуля:

$\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(R-x)^2}$

Преобразуем уравнение, чтобы решить его относительно $x$:

$\frac{(R-x)^2}{x^2} = \frac{q_2}{q_1}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$

(Мы берем только положительное значение корня, так как $x$ и $R-x$ — это расстояния, и они оба положительны).

$R-x = x \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$

$R = x + x \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = x \left(1 + \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\right)$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{R}{1 + \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$x = \frac{20 \text{ см}}{1 + \sqrt{\frac{3 \text{ нКл}}{5 \text{ нКл}}}} = \frac{20}{1 + \sqrt{0.6}}$

$x \approx \frac{20}{1 + 0.7746} = \frac{20}{1.7746} \approx 11.27 \text{ см}$

Таким образом, третий заряд нужно поместить на расстоянии примерно 11.3 см от заряда $q_1 = 5$ нКл. Расстояние до второго заряда $q_2 = 3$ нКл составит:

$R - x = 20 \text{ см} - 11.3 \text{ см} = 8.7 \text{ см}$

Точка равновесия находится ближе к меньшему по модулю заряду, что логично.

Ответ: Третий точечный заряд надо поместить на прямой, соединяющей два заряда, между ними, на расстоянии примерно 11.3 см от заряда 5 нКл (и, соответственно, на расстоянии 8.7 см от заряда 3 нКл).