Номер 6, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электростатика. Задачи для повторения - номер 6, страница 54.

Условие.

6. Два одинаковых шарика массами по 0,1 г каждый подвешены на нитях длиной 25 см, так что касаются друг друга. После того как шарикам сообщили одинаковые заряды, они разошлись на расстояние 5 см. Определите заряды шариков.

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m = 0,1 \text{ г} = 10^{-4} \text{ кг}$

$L = 25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$

$r = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

$q_1 = q_2 = q$

$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$ (электростатическая постоянная)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$q$ - ?

Решение:

После того как шарикам сообщили одинаковые заряды, они оттолкнулись друг от друга силой Кулона и установились в положении равновесия. Рассмотрим один из шариков. На него действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити.
3. Сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $F_e$, направленная горизонтально от другого шарика.

В положении равновесия векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю: $\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$.

Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

На горизонтальную ось (X): $F_e - T \sin{\alpha} = 0 \implies T \sin{\alpha} = F_e$

На вертикальную ось (Y): $T \cos{\alpha} - F_g = 0 \implies T \cos{\alpha} = F_g$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{T \sin{\alpha}}{T \cos{\alpha}} = \frac{F_e}{F_g} \implies \tan{\alpha} = \frac{F_e}{F_g}$

Сила Кулона определяется по формуле $F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$. Сила тяжести $F_g = mg$.

Подставим выражения для сил в полученное уравнение:

$\tan{\alpha} = \frac{k q^2}{mg r^2}$

Отсюда выразим искомый заряд $q$:

$q^2 = \frac{mg r^2 \tan{\alpha}}{k} \implies q = \sqrt{\frac{mg r^2 \tan{\alpha}}{k}}$

Угол $\alpha$ можно найти из геометрии системы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный нитью (гипотенуза $L$), вертикалью и половиной расстояния между шариками (катет $r/2$). В этом треугольнике:

$\sin{\alpha} = \frac{r/2}{L} = \frac{r}{2L}$

Вычислим значение синуса угла:

$\sin{\alpha} = \frac{0,05 \text{ м}}{2 \cdot 0,25 \text{ м}} = \frac{0,05}{0,5} = 0,1$

Так как значение $\sin{\alpha}$ мало, угол $\alpha$ также мал. Для малых углов справедливо приближение $\tan{\alpha} \approx \sin{\alpha}$.

Тогда $\tan{\alpha} \approx \frac{r}{2L}$.

Подставим это приближение в формулу для заряда:

$q = \sqrt{\frac{mg r^2}{k} \cdot \frac{r}{2L}} = \sqrt{\frac{mg r^3}{2Lk}}$

Подставим числовые значения:

$q = \sqrt{\frac{10^{-4} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,05 \text{ м})^3}{2 \cdot 0,25 \text{ м} \cdot 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}} = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 10^{-4} \cdot 1,25 \cdot 10^{-4}}{0,5 \cdot 9 \cdot 10^9}} \text{ Кл}$

$q = \sqrt{\frac{12,25 \cdot 10^{-8}}{4,5 \cdot 10^9}} \text{ Кл} = \sqrt{2,722 \cdot 10^{-17}} \text{ Кл} = \sqrt{27,22 \cdot 10^{-18}} \text{ Кл}$

$q \approx 5,22 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Переведем в нанокулоны: $5,22 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 5,22 \text{ нКл}$.

Ответ: заряд каждого шарика равен приблизительно $5,22 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ (или $5,22 \text{ нКл}$).