Номер 5, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 5, страница 54.

Условие.

5. Два заряженных маленьких шарика находятся на расстоянии 50 см друг от друга. Шарики отталкиваются с силой 2 Н. Суммарный заряд шариков составляет $2 \cdot 10^{-5}$ Кл. Определите заряды шариков.

Решение.

Дано:

$r = 50$ см

$F = 2$ Н

$q_{общ} = q_1 + q_2 = 2 \cdot 10^{-5}$ Кл

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$r = 50$ см $= 0.5$ м

Найти:

$q_1$ — ?

$q_2$ — ?

Решение:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

По условию задачи, шарики отталкиваются, что означает, что их заряды ($q_1$ и $q_2$) имеют одинаковый знак. Поскольку их суммарный заряд $q_1 + q_2 = 2 \cdot 10^{-5}$ Кл является положительной величиной, оба заряда положительны. Следовательно, $|q_1 q_2| = q_1 q_2$.

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = 2 \cdot 10^{-5} \\ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим произведение зарядов $q_1 q_2$:

$q_1 q_2 = \frac{F r^2}{k}$

Подставим известные значения:

$q_1 q_2 = \frac{2 \cdot (0.5)^2}{9 \cdot 10^9} = \frac{2 \cdot 0.25}{9 \cdot 10^9} = \frac{0.5}{9 \cdot 10^9} = \frac{5}{9} \cdot 10^{-10}$ Кл²

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = 2 \cdot 10^{-5} \\ q_1 q_2 = \frac{5}{9} \cdot 10^{-10} \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, заряды $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения вида $q^2 - (q_1 + q_2)q + (q_1 q_2) = 0$.

Подставим в него значения суммы и произведения зарядов:

$q^2 - (2 \cdot 10^{-5})q + \frac{5}{9} \cdot 10^{-10} = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2 \cdot 10^{-5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{9} \cdot 10^{-10}) = 4 \cdot 10^{-10} - \frac{20}{9} \cdot 10^{-10}$

$D = (\frac{36}{9} - \frac{20}{9}) \cdot 10^{-10} = \frac{16}{9} \cdot 10^{-10}$

Найдем корни уравнения:

$q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \cdot 10^{-5} \pm \sqrt{\frac{16}{9} \cdot 10^{-10}}}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-5} \pm \frac{4}{3} \cdot 10^{-5}}{2}$

Вычисляем значения для $q_1$ и $q_2$:

$q_1 = \frac{2 \cdot 10^{-5} + \frac{4}{3} \cdot 10^{-5}}{2} = \frac{(2 + \frac{4}{3}) \cdot 10^{-5}}{2} = \frac{\frac{10}{3} \cdot 10^{-5}}{2} = \frac{5}{3} \cdot 10^{-5}$ Кл

$q_2 = \frac{2 \cdot 10^{-5} - \frac{4}{3} \cdot 10^{-5}}{2} = \frac{(2 - \frac{4}{3}) \cdot 10^{-5}}{2} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 10^{-5}}{2} = \frac{1}{3} \cdot 10^{-5}$ Кл

Ответ: Заряды шариков равны $\frac{5}{3} \cdot 10^{-5}$ Кл и $\frac{1}{3} \cdot 10^{-5}$ Кл (приблизительно $1.67 \cdot 10^{-5}$ Кл и $0.33 \cdot 10^{-5}$ Кл).