Номер 8, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электростатика. Задачи для повторения - номер 8, страница 54.

Условие.

8. Две маленькие концентрические сферы радиусами 5 см и 10 см соответственно обладают зарядами $2 \cdot 10^{-8}$ Кл и $1 \cdot 10^{-8}$ Кл. Определите напряжённость электрического поля, созданного этими сферами, в точках, отстоящих от центра сфер на расстояния 3 см, 8 см, 14 см.

Решение.

Дано:

Радиус внутренней сферы, $R_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Заряд внутренней сферы, $q_1 = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Радиус внешней сферы, $R_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Заряд внешней сферы, $q_2 = 1 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Расстояния от центра сфер: $r_a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$, $r_b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$, $r_c = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Электрическая постоянная, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Напряженность электрического поля $E_a$, $E_b$, $E_c$ в точках, отстоящих от центра на расстояния $r_a, r_b, r_c$ соответственно.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса для напряженности электрического поля, создаваемого сферически симметричным распределением заряда, и принципом суперпозиции полей.

1. Напряженность поля внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю.

2. Напряженность поля вне заряженной сферы на расстоянии $r$ от ее центра такая же, как у точечного заряда, равного всему заряду сферы и помещенного в ее центр: $E = k \frac{q}{r^2}$.

Рассмотрим каждую точку отдельно.

Для точки на расстоянии $r_a = 3$ см от центра.

Эта точка находится внутри обеих сфер ($r_a < R_1$ и $r_a < R_2$). Электрическое поле, создаваемое зарядом на сферической поверхности, внутри этой поверхности равно нулю. Следовательно, и внутренняя, и внешняя сферы не создают поля в данной точке. Суммарная напряженность равна нулю.

$E_a = E_1 + E_2 = 0 + 0 = 0$

Ответ: Напряженность поля на расстоянии 3 см от центра равна $0$ В/м.

Для точки на расстоянии $r_b = 8$ см от центра.

Эта точка находится снаружи внутренней сферы ($r_b > R_1$), но внутри внешней ($r_b < R_2$). Поэтому напряженность поля в этой точке создается только зарядом внутренней сферы $q_1$. Поле от внешней сферы в этой точке равно нулю.

Напряженность поля вычисляется по формуле для поля точечного заряда:

$E_b = k \frac{q_1}{r_b^2}$

Подставляем числовые значения:

$E_b = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{(0.08 \text{ м})^2} = \frac{180 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}}{0.0064 \text{ м}^2} = 28125 \text{ Н/Кл}$

Поскольку $1 \text{ Н/Кл} = 1 \text{ В/м}$, то $E_b = 28125 \text{ В/м} = 28.125 \text{ кВ/м}$.

Ответ: Напряженность поля на расстоянии 8 см от центра равна $28125$ В/м.

Для точки на расстоянии $r_c = 14$ см от центра.

Эта точка находится снаружи обеих сфер ($r_c > R_2 > R_1$). В этом случае обе сферы создают поле, как если бы их заряды были сосредоточены в центре. По принципу суперпозиции, напряженность поля равна напряженности поля от суммарного заряда $Q = q_1 + q_2$.

$E_c = k \frac{q_1 + q_2}{r_c^2}$

Суммарный заряд: $Q = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} + 1 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 3 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$.

Подставляем числовые значения:

$E_c = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{3 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{(0.14 \text{ м})^2} = \frac{270 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}}{0.0196 \text{ м}^2} \approx 13776 \text{ Н/Кл}$

$E_c \approx 13776 \text{ В/м} \approx 13.8 \text{ кВ/м}$.

Ответ: Напряженность поля на расстоянии 14 см от центра равна примерно $13776$ В/м.