Номер 7, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 7, страница 54.

Условие.

7. Вертикально расположенная плоскость обладает поверхностной плотностью заряда $4 \text{ нКл}/\text{см}^2$. К плоскости при помощи непроводящей нити подвешен шарик массой $1 \text{ г}$ и зарядом $1 \text{ нКл}$. Определите угол, образованный нитью с плоскостью.

Решение.

Дано:

Поверхностная плотность заряда плоскости $ \sigma = 4 \text{ нКл/см}^2 $

Масса шарика $ m = 1 \text{ г} $

Заряд шарика $ q = 1 \text{ нКл} $

Перевод в систему СИ:

$ \sigma = 4 \frac{\text{нКл}}{\text{см}^2} = 4 \cdot \frac{10^{-9} \text{ Кл}}{(10^{-2} \text{ м})^2} = 4 \cdot \frac{10^{-9}}{10^{-4}} \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Кл/м}^2 $

$ m = 1 \text{ г} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг} $

$ q = 1 \text{ нКл} = 1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} $

Электрическая постоянная $ \epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} $

Ускорение свободного падения $ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $

Найти:

Угол $ \alpha $, образованный нитью с плоскостью.

Решение:

Шарик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести $ \vec{F}_g $, направленной вертикально вниз, силы натяжения нити $ \vec{T} $, направленной вдоль нити, и электрической силы $ \vec{F}_e $, действующей со стороны заряженной плоскости.

Так как плоскость расположена вертикально, а ее заряд и заряд шарика одного знака (положительные), электрическая сила $ \vec{F}_e $ будет направлена горизонтально, перпендикулярно плоскости.Условие равновесия шарика в векторной форме: $ \vec{F}_g + \vec{T} + \vec{F}_e = 0 $.

Спроецируем силы на оси координат. Направим ось OY вертикально вниз, а ось OX горизонтально, перпендикулярно плоскости. Пусть нить отклоняется на угол $ \alpha $ от вертикали. Тогда условие равновесия в проекциях на оси будет выглядеть так:

На ось OX: $ F_e - T \sin\alpha = 0 $

На ось OY: $ F_g - T \cos\alpha = 0 $

Отсюда получаем:

$ T \sin\alpha = F_e $

$ T \cos\alpha = F_g $

Разделим первое уравнение на второе:

$ \frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{F_e}{F_g} \Rightarrow \tan\alpha = \frac{F_e}{F_g} $

Сила тяжести определяется как $ F_g = mg $. Электрическая сила, действующая на заряд $ q $ в электрическом поле с напряженностью $ E $, равна $ F_e = qE $.

Напряженность электрического поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, вычисляется по формуле:

$ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $

Подставим выражения для сил в формулу для тангенса угла:

$ \tan\alpha = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0 mg} $

По условию задачи требуется найти угол, образованный нитью с плоскостью. Поскольку плоскость вертикальна, а сила $ \vec{F}_e $ перпендикулярна ей, отклонение нити происходит в горизонтальной плоскости, перпендикулярной заряженной плоскости. Проекция нити на вертикальную заряженную плоскость будет совпадать с вертикальным направлением. Угол между линией (нитью) и плоскостью – это угол между этой линией и её проекцией на плоскость. В данном случае этот угол совпадает с углом отклонения нити от вертикали $ \alpha $.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ \tan\alpha = \frac{(1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (4 \cdot 10^{-5} \text{ Кл/м}^2)}{2 \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (9.8 \text{ м/с}^2)} $

$ \tan\alpha = \frac{4 \cdot 10^{-14}}{2 \cdot 8.85 \cdot 9.8 \cdot 10^{-15}} = \frac{4 \cdot 10^{-14}}{173.46 \cdot 10^{-15}} = \frac{40}{173.46} \approx 0.2306 $

Теперь найдем сам угол:

$ \alpha = \arctan(0.2306) \approx 13^\circ $

Ответ: $ \alpha \approx 13^\circ $.