Номер 4, страница 54 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Электростатика - номер 4, страница 54.

Условие.

4. В двух вершинах правильного треугольника со стороной 2 м находятся два маленьких шарика с равными положительными зарядами по 20 нКл каждый. Определите напряжённость электрического поля в третьей вершине треугольника.

Решение.

Дано:

Сторона правильного треугольника, $a = 2 \text{ м}$

Заряды, $q_1 = q_2 = q = 20 \text{ нКл}$

Постоянная Кулона, $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:
$q = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Напряжённость электрического поля в третьей вершине, $E_{общ}$

Решение:

Пусть заряды $q_1$ и $q_2$ расположены в двух вершинах правильного треугольника. Напряжённость электрического поля в третьей вершине определяется по принципу суперпозиции. Результирующая напряжённость $\vec{E}_{общ}$ равна векторной сумме напряжённостей полей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E}_{общ} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Поскольку треугольник правильный, расстояние от каждого из зарядов до третьей вершины равно стороне треугольника $a$. Так как заряды и расстояния равны ($q_1 = q_2 = q$, $r_1 = r_2 = a$), то модули напряжённостей $E_1$ и $E_2$ будут одинаковы:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{q}{a^2}$

Рассчитаем значение этого модуля:

$E = (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(2 \text{ м})^2} = \frac{180}{4} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 45 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Заряды положительные, поэтому векторы напряжённости $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены от создающих их зарядов. Угол между сторонами правильного треугольника составляет $60^\circ$. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ также равен $60^\circ$.

Модуль результирующего вектора напряжённости $E_{общ}$ можно найти по теореме косинусов для суммы векторов:

$E_{общ} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos\alpha}$

Так как $E_1 = E_2 = E$ и $\alpha = 60^\circ$ ($\cos60^\circ = 0.5$):

$E_{общ} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E \cdot E \cdot \cos60^\circ} = \sqrt{2E^2 + 2E^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2E^2 + E^2} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$

Подставим найденное значение $E$:

$E_{общ} = 45\sqrt{3} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Вычислим приближенное значение:

$E_{общ} \approx 45 \cdot 1.732 \approx 77.94 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Ответ: $45\sqrt{3} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$ (или приблизительно $78 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$).