Номер 15, страница 53 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Задачи для повторения - номер 15, страница 53.

Условие.

15. Горизонтальный цилиндрический сосуд длиной $1.2 \text{ м}$ разделен на две части легким подвижным теплонепроницаемым поршнем. Весь сосуд заполнен идеальным газом. В начальный момент температура в баллоне одинакова, а объём левой части в $2$ раза больше объёма правой. Затем температуру в правой части увеличили, а в левой оставили прежней. При этом поршень переместился на 0.2 м. Во сколько раз увеличили температуру в правой части сосуда?

Решение.

Дано:

$L = 1.2$ м

$V_{1л} = 2 V_{1п}$

$T_{1л} = T_{1п} = T_1$

$T_{2л} = T_1$

$\Delta l = 0.2$ м

Найти:

$\frac{T_{2п}}{T_{1п}}$

Решение:

Обозначим начальные параметры газа в левой и правой частях сосуда индексами «1л» и «1п», а конечные — «2л» и «2п». Пусть $S$ — площадь поперечного сечения сосуда.

1. Начальное состояние.

Объём каждой части сосуда пропорционален её длине: $V = S \cdot l$. Из условия $V_{1л} = 2 V_{1п}$ следует, что начальные длины частей также соотносятся как $l_{1л} = 2 l_{1п}$.

Сумма длин обеих частей равна общей длине сосуда:

$l_{1л} + l_{1п} = L$

$2 l_{1п} + l_{1п} = 1.2$ м

$3 l_{1п} = 1.2$ м

Отсюда находим начальные длины:

$l_{1п} = 0.4$ м

$l_{1л} = 2 \cdot 0.4$ м $= 0.8$ м

Поскольку поршень лёгкий и подвижный, давления газа в обеих частях сосуда в начальный момент одинаковы: $p_{1л} = p_{1п} = p_1$. Температуры также равны по условию: $T_{1л} = T_{1п} = T_1$.

2. Конечное состояние.

После нагревания газа в правой части сосуда он расширился и сместил поршень влево на расстояние $\Delta l = 0.2$ м. Новые длины частей сосуда равны:

$l_{2л} = l_{1л} - \Delta l = 0.8 \text{ м} - 0.2 \text{ м} = 0.6$ м

$l_{2п} = l_{1п} + \Delta l = 0.4 \text{ м} + 0.2 \text{ м} = 0.6$ м

В конечном состоянии поршень снова находится в равновесии, следовательно, давления в обеих частях равны: $p_{2л} = p_{2п} = p_2$.

3. Применение газовых законов.

Рассмотрим газ в левой части сосуда. Его температура осталась неизменной ($T_{2л} = T_1$), значит, для него применим закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс):

$p_1 V_{1л} = p_2 V_{2л}$

$p_1 (S \cdot l_{1л}) = p_2 (S \cdot l_{2л})$

Отсюда можно выразить отношение конечного давления к начальному:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{l_{1л}}{l_{2л}}$

Теперь рассмотрим газ в правой части сосуда. Для него изменяются все три макропараметра ($p, V, T$). Применим объединённый газовый закон, так как количество газа не меняется:

$\frac{p_{1п} V_{1п}}{T_{1п}} = \frac{p_{2п} V_{2п}}{T_{2п}}$

Подставим известные соотношения ($p_{1п} = p_1, p_{2п} = p_2, T_{1п} = T_1, V = S \cdot l$):

$\frac{p_1 (S \cdot l_{1п})}{T_1} = \frac{p_2 (S \cdot l_{2п})}{T_{2п}}$

Нам нужно найти отношение $\frac{T_{2п}}{T_{1п}} = \frac{T_{2п}}{T_1}$. Выразим его из этого уравнения:

$\frac{T_{2п}}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{l_{2п}}{l_{1п}}$

Подставим в это уравнение найденное ранее отношение давлений $\frac{p_2}{p_1} = \frac{l_{1л}}{l_{2л}}$:

$\frac{T_{2п}}{T_1} = \frac{l_{1л}}{l_{2л}} \cdot \frac{l_{2п}}{l_{1п}}$

Теперь подставим числовые значения длин:

$\frac{T_{2п}}{T_1} = \frac{0.8 \text{ м}}{0.6 \text{ м}} \cdot \frac{0.6 \text{ м}}{0.4 \text{ м}} = \frac{0.8}{0.4} = 2$

Ответ: температуру в правой части сосуда увеличили в 2 раза.