Номер 10, страница 52 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Молекулярная физика - номер 10, страница 52.

Условие.

10. В сосуде объёмом 1 $м^3$ находятся гелий и кислород при давлении 90 кПа и температуре $-2^\circ$С. При этих условиях плотность смеси равна 0,44 $кг/м^3$. Каким будет давление в сосуде, если из него удалить половину молекул кислорода?

Решение.

Дано:

$V = 1 \text{ м}^3$

$P_1 = 90 \text{ кПа} = 90 \cdot 10^3 \text{ Па}$

$t = -2^\circ\text{C}$

$\rho_1 = 0.44 \text{ кг/м}^3$

Газы: гелий (He) и кислород ($O_2$)

Перевод в систему СИ:

$T = t + 273 = -2 + 273 = 271 \text{ К}$

Справочные данные:

Молярная масса гелия: $M_{He} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Молярная масса кислорода: $M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная: $R = 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

$P_2$ - давление в сосуде после удаления половины молекул кислорода.

Решение:

1. Найдем начальную массу смеси газов в сосуде:

$m_1 = \rho_1 \cdot V = 0.44 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1 \text{ м}^3 = 0.44 \text{ кг}$

Эта масса является суммой масс гелия $m_{He}$ и кислорода $m_{O_2,1}$:

$m_{He} + m_{O_2,1} = 0.44 \text{ кг}$ (1)

2. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для смеси газов. Общее количество вещества $\nu_1$ равно сумме количеств вещества гелия $\nu_{He}$ и кислорода $\nu_{O_2,1}$.

$P_1 V = \nu_1 R T = (\nu_{He} + \nu_{O_2,1}) R T$

Выразим количество вещества через массу и молярную массу ($\nu = m/M$):

$P_1 V = (\frac{m_{He}}{M_{He}} + \frac{m_{O_2,1}}{M_{O_2}}) R T$ (2)

3. Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения масс каждого газа.

Из уравнения (1) выразим массу гелия: $m_{He} = 0.44 - m_{O_2,1}$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$P_1 V = (\frac{0.44 - m_{O_2,1}}{M_{He}} + \frac{m_{O_2,1}}{M_{O_2}}) R T$

Подставим числовые значения:

$90 \cdot 10^3 \cdot 1 = (\frac{0.44 - m_{O_2,1}}{4 \cdot 10^{-3}} + \frac{m_{O_2,1}}{32 \cdot 10^{-3}}) \cdot 8.31 \cdot 271$

$90000 \approx (110 - 250 m_{O_2,1} + 31.25 m_{O_2,1}) \cdot 2252$

$90000 \approx (110 - 218.75 m_{O_2,1}) \cdot 2252$

Выразим скобку:

$110 - 218.75 m_{O_2,1} \approx \frac{90000}{2252} \approx 39.96$

Примем это значение равным 40 (это соответствует общему количеству вещества).

$110 - 218.75 m_{O_2,1} = 40$

$218.75 m_{O_2,1} = 70$

$m_{O_2,1} = \frac{70}{218.75} = 0.32 \text{ кг}$

Тогда масса гелия:

$m_{He} = 0.44 - 0.32 = 0.12 \text{ кг}$

4. Найдем начальное количество молей каждого газа:

$\nu_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}} = \frac{0.12 \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 30 \text{ моль}$

$\nu_{O_2,1} = \frac{m_{O_2,1}}{M_{O_2}} = \frac{0.32 \text{ кг}}{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 10 \text{ моль}$

Общее начальное количество вещества: $\nu_1 = \nu_{He} + \nu_{O_2,1} = 30 + 10 = 40 \text{ моль}$.

5. После удаления половины молекул кислорода, его количество вещества станет:

$\nu_{O_2,2} = \frac{1}{2} \nu_{O_2,1} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ моль}$

Количество вещества гелия не изменилось. Новое общее количество вещества в сосуде:

$\nu_2 = \nu_{He} + \nu_{O_2,2} = 30 + 5 = 35 \text{ моль}$

6. Давление газа при постоянных объеме и температуре прямо пропорционально количеству вещества: $P = \frac{\nu R T}{V}$.

Составим пропорцию:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\nu_2}{\nu_1}$

Отсюда найдем конечное давление $P_2$:

$P_2 = P_1 \cdot \frac{\nu_2}{\nu_1} = 90 \text{ кПа} \cdot \frac{35 \text{ моль}}{40 \text{ моль}} = 90 \cdot \frac{7}{8} = 78.75 \text{ кПа}$

Ответ: $78.75 \text{ кПа}$.