Номер 6, страница 52 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Молекулярная физика - номер 6, страница 52.

Условие.

6. Масса Солнца $2 \cdot 10^{30}$ кг, радиус $7 \cdot 10^8$ м. Определите температуру внутри Солнца, считая, что оно состоит из водорода.

Решение.

Дано:

Масса Солнца, $M = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Радиус Солнца, $R = 7 \cdot 10^{8}$ м

Состав Солнца - водород (H)

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$м$^2$/кг$^2$

Постоянная Больцмана, $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Масса протона (ядра водорода), $m_p \approx 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг

Найти:

Температуру внутри Солнца, $T$

Решение:

Для оценки температуры внутри Солнца воспользуемся теоремой о вириале. Эта теорема связывает среднюю кинетическую энергию частиц системы со средней потенциальной энергией их взаимодействия. Для устойчивой гравитационно-связанной системы, такой как звезда, теорема вириала имеет вид:

$2\langle K \rangle + \langle U \rangle = 0$

где $\langle K \rangle$ - средняя по времени полная кинетическая энергия всех частиц звезды, а $\langle U \rangle$ - средняя по времени полная гравитационная потенциальная энергия.

1. Найдем гравитационную потенциальную энергию $U$. Для шара с постоянной плотностью, массой $M$ и радиусом $R$ она равна:

$U = - \frac{3}{5} \frac{G M^2}{R}$

2. Найдем полную кинетическую энергию $K$. По условию, Солнце состоит из водорода. При высоких температурах в ядре Солнца водород полностью ионизирован и представляет собой плазму, состоящую из протонов ($p^+$) и электронов ($e^-$). Каждый атом водорода дает одну свободную частицу - протон, и одну свободную частицу - электрон. Таким образом, число частиц в плазме примерно вдвое больше числа атомов водорода.

Масса Солнца в основном определяется массой протонов, так как масса электрона пренебрежимо мала. Число протонов в Солнце:

$N_p \approx \frac{M}{m_p}$

Общее число частиц (протонов и электронов):

$N = N_p + N_e = 2 N_p = 2 \frac{M}{m_p}$

Средняя кинетическая энергия одной частицы в газе с температурой $T$ равна:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T$

Полная кинетическая энергия всех частиц:

$K = N \cdot \langle E_k \rangle = \left(2 \frac{M}{m_p}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} k T\right) = \frac{3 M k T}{m_p}$

3. Подставим выражения для $K$ и $U$ в теорему о вириале:

$2 \left(\frac{3 M k T}{m_p}\right) + \left(- \frac{3}{5} \frac{G M^2}{R}\right) = 0$

$\frac{6 M k T}{m_p} = \frac{3}{5} \frac{G M^2}{R}$

Выразим температуру $T$:

$T = \frac{3}{5} \frac{G M^2}{R} \cdot \frac{m_p}{6 M k} = \frac{G M m_p}{10 k R}$

Эта формула дает оценку средней температуры вещества внутри Солнца.

4. Подставим числовые значения:

$T = \frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (2 \cdot 10^{30} \text{ кг}) \cdot (1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг})}{10 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot (7 \cdot 10^{8} \text{ м})}$

$T = \frac{6.67 \cdot 2 \cdot 1.67}{10 \cdot 1.38 \cdot 7} \cdot \frac{10^{-11+30-27}}{10^{-23+8}} \text{ К} = \frac{22.2778}{96.6} \cdot \frac{10^{-8}}{10^{-15}} \text{ К}$

$T \approx 0.23 \cdot 10^7 \text{ К} = 2.3 \cdot 10^6 \text{ К}$

Полученное значение является оценкой средней температуры по всему объему Солнца. Температура в ядре Солнца значительно выше (около $1.5 \cdot 10^7$ К) из-за высокой концентрации вещества в центре. Однако, в рамках данной оценочной задачи, полученный результат является корректным применением физических законов.

Ответ: $T \approx 2.3 \cdot 10^6$ К.