Номер 8, страница 52 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Задачи для повторения - номер 8, страница 52.

Условие.

8. Объём шара, заполненного горячим воздухом, 224 $\text{м}^3$. Масса оболочки шара 145 кг. Воздух в шаре сообщается с окружающей средой через отверстие. Температура окружающего воздуха $0\text{ }^{\circ}\text{C}$. Определите температуру внутри шара.

Решение.

Дано:

Объём шара, $V = 224 \text{ м}^3$

Масса оболочки шара, $m_{об} = 145 \text{ кг}$

Температура окружающего воздуха, $t_{окр} = 0 \text{ °C}$

Плотность окружающего воздуха (при $0 \text{ °C}$), $\rho_{окр} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$

Температура окружающего воздуха в системе СИ (Кельвин):

$T_{окр} = t_{окр} + 273 = 0 + 273 = 273 \text{ К}$

Найти:

Температуру воздуха внутри шара, $t_{вн}$

Решение:

Для того чтобы шар находился в равновесии (не падал и не взлетал), действующая на него выталкивающая сила Архимеда $F_A$ должна быть равна суммарной силе тяжести, действующей на оболочку шара $F_{т.об}$ и на горячий воздух внутри него $F_{т.вн}$.

Условие равновесия:

$F_A = F_{т.об} + F_{т.вн}$

Сила Архимеда определяется по формуле:

$F_A = \rho_{окр} \cdot g \cdot V$

где $\rho_{окр}$ – плотность окружающего воздуха, $V$ – объём шара, $g$ – ускорение свободного падения.

Сила тяжести оболочки:

$F_{т.об} = m_{об} \cdot g$

Сила тяжести воздуха внутри шара:

$F_{т.вн} = m_{вн} \cdot g = \rho_{вн} \cdot V \cdot g$

где $\rho_{вн}$ – плотность горячего воздуха внутри шара.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_{окр} \cdot g \cdot V = m_{об} \cdot g + \rho_{вн} \cdot V \cdot g$

Сократим обе части уравнения на $g$:

$\rho_{окр} \cdot V = m_{об} + \rho_{вн} \cdot V$

Из условия задачи известно, что воздух в шаре сообщается с окружающей средой через отверстие. Это означает, что давление внутри шара равно давлению снаружи (атмосферному давлению): $P_{вн} = P_{окр} = P$.

Для идеального газа связь между плотностью, давлением и температурой можно выразить из уравнения состояния идеального газа $PV = \frac{m}{M}RT$. Отсюда плотность $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$. Так как давление $P$ и молярная масса воздуха $M$ одинаковы для воздуха внутри и снаружи, получаем соотношение:

$\rho \cdot T = \frac{PM}{R} = \text{const}$

Следовательно, для воздуха внутри и снаружи шара справедливо равенство:

$\rho_{вн} T_{вн} = \rho_{окр} T_{окр}$

Выразим отсюда плотность воздуха внутри шара:

$\rho_{вн} = \rho_{окр} \frac{T_{окр}}{T_{вн}}$

Теперь подставим это выражение в уравнение равновесия сил:

$\rho_{окр} \cdot V = m_{об} + \left(\rho_{окр} \frac{T_{окр}}{T_{вн}}\right) \cdot V$

Выразим искомую температуру $T_{вн}$:

$\rho_{окр} V - m_{об} = \frac{\rho_{окр} V T_{окр}}{T_{вн}}$

$T_{вн} = \frac{\rho_{окр} V T_{окр}}{\rho_{окр} V - m_{об}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T_{вн} = \frac{1,29 \text{ кг/м}^3 \cdot 224 \text{ м}^3 \cdot 273 \text{ К}}{1,29 \text{ кг/м}^3 \cdot 224 \text{ м}^3 - 145 \text{ кг}} = \frac{78885,12}{288,96 - 145} = \frac{78885,12}{143,96} \approx 548 \text{ К}$

Переведем температуру из шкалы Кельвина в шкалу Цельсия:

$t_{вн} = T_{вн} - 273 = 548 - 273 = 275 \text{ °C}$

Ответ: температура внутри шара должна быть $275 \text{ °C}$.