Номер 14, страница 53 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Задачи для повторения - номер 14, страница 53.

Условие.

14. Теплоизолированный сосуд разделён пористой перегородкой на две равные части. В одной находится газ, способный проходить через перегородку, в другой — газ, который через перегородку пройти не может. Температура газов одинакова и равна 500 К. Вначале количество газов одинаково: в каждой части по одному молю. Определите внутреннюю энергию газа в той части, где первоначально находился второй газ. Считайте газы идеальными и одноатомными.

Решение.

Дано:

Сосуд разделен на две равные части: $V_1 = V_2 = V/2$

Газ 1: может проходить через перегородку

Газ 2: не может проходить через перегородку

Начальная температура газов: $T_0 = 500$ К

Начальное количество вещества в каждой части: $\nu_1 = 1$ моль, $\nu_2 = 1$ моль

Газы являются идеальными и одноатомными (число степеней свободы $i=3$)

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$U_{final}$ — конечная внутренняя энергия газа в той части, где первоначально находился второй газ.

Решение:

Обозначим части сосуда как A и B. Пусть вначале в части A находится первый газ, а в части B — второй. Сосуд теплоизолирован, это означает, что он не обменивается теплом с окружающей средой ($Q=0$). Объем сосуда постоянен, поэтому работа газом не совершается ($A=0$). Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии всей системы равно нулю ($\Delta U = Q - A = 0$). Следовательно, полная внутренняя энергия системы газов сохраняется.

Начальная внутренняя энергия системы равна сумме внутренних энергий двух газов:

$U_{initial} = U_1 + U_2 = \frac{3}{2}\nu_1 R T_0 + \frac{3}{2}\nu_2 R T_0 = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T_0$

После того как система придет в состояние равновесия, первый газ, способный проходить через пористую перегородку, равномерно распределится по всему объему сосуда. Второй газ останется в своей части B. Поскольку газы идеальные и процесс происходит без теплообмена и совершения работы, конечная температура смеси $T_{final}$ будет равна начальной температуре $T_0$.

Докажем это. В конечном состоянии полная внутренняя энергия системы будет равна:

$U_{final\_total} = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T_{final}$

Из закона сохранения энергии $U_{initial} = U_{final\_total}$:

$\frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T_0 = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T_{final}$

Отсюда следует, что $T_{final} = T_0 = 500$ К.

Теперь определим состав газа в части B, где первоначально находился второй газ. Второй газ не может покинуть эту часть, поэтому его количество здесь останется равным $\nu_2 = 1$ моль.

Первый газ распределится равномерно по всему объему сосуда. Так как части A и B имеют равные объемы, в части B окажется половина от общего количества первого газа:

$\nu_{1\_in\_B} = \frac{\nu_1}{2} = \frac{1 \text{ моль}}{2} = 0.5$ моль

Таким образом, в части B в конечном состоянии будет находиться смесь газов с общим количеством вещества:

$\nu_{total\_in\_B} = \nu_2 + \nu_{1\_in\_B} = 1 + 0.5 = 1.5$ моль

Температура этой смеси равна конечной равновесной температуре системы $T_{final} = 500$ К. Внутренняя энергия газа (смеси газов) в этой части сосуда рассчитывается по формуле для идеального одноатомного газа:

$U_{final} = \frac{3}{2}\nu_{total\_in\_B} R T_{final}$

Подставим числовые значения:

$U_{final} = \frac{3}{2} \cdot 1.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot 500 \text{ К}$

$U_{final} = 2.25 \cdot 8.31 \cdot 500 \text{ Дж} = 9348.75$ Дж

Округляя до трех значащих цифр, получаем 9350 Дж или 9.35 кДж.

Ответ: $9348.75$ Дж.