Номер 8, страница 49 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 8, страница 49.

Условие.

8. Пластилиновый шарик движется по горизонтали со скоростью 15 м/с. Шарик сталкивается с бруском, движущимся навстречу шарику со скоростью 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы шарика. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,17. Определите расстояние, на которое сместится брусок после столкновения, когда их скорость уменьшится на 30 %.

Решение.

Дано:

Скорость шарика, $v_ш = 15$ м/с
Скорость бруска, $v_б = 5$ м/с
Соотношение масс, $m_б = 4m_ш$
Коэффициент трения, $\mu = 0,17$
Уменьшение скорости на 30%
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

Расстояние, $S$

Решение:

Решение задачи можно разделить на два основных этапа:

1. Определение скорости системы "шарик + брусок" сразу после их абсолютно неупругого столкновения с помощью закона сохранения импульса.

2. Определение расстояния, которое пройдет система, замедляясь под действием силы трения, пока ее скорость не уменьшится на 30%.

1. Абсолютно неупругое столкновение

Так как шарик пластилиновый, он прилипает к бруску. Такое столкновение является абсолютно неупругим. Для замкнутой системы тел "шарик-брусок" выполняется закон сохранения импульса.

Выберем ось $OX$, направленную в сторону первоначального движения шарика. Тогда скорость бруска, движущегося навстречу, будет иметь отрицательную проекцию.

Импульс системы до столкновения равен сумме импульсов шарика и бруска:
$p_{до} = m_ш v_ш - m_б v_б$

После столкновения шарик и брусок движутся вместе с общей скоростью $u$. Их суммарный импульс:
$p_{после} = (m_ш + m_б) u$

По закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:
$m_ш v_ш - m_б v_б = (m_ш + m_б) u$

Подставим в уравнение соотношение масс $m_б = 4m_ш$:
$m_ш v_ш - 4m_ш v_б = (m_ш + 4m_ш) u$
$m_ш (v_ш - 4v_б) = 5m_ш u$

Сократим массу шарика $m_ш$ и выразим скорость $u$:
$u = \frac{v_ш - 4v_б}{5} = \frac{15 - 4 \cdot 5}{5} = \frac{15 - 20}{5} = -1$ м/с.

Знак "минус" показывает, что после столкновения система движется в направлении, противоположном начальному движению шарика. Начальная скорость системы для второго этапа движения по модулю равна $v_0 = |u| = 1$ м/с.

2. Движение с трением

Нужно найти расстояние $S$, которое пройдет система, пока ее скорость не уменьшится на 30%. Это означает, что конечная скорость $v_k$ составит $100\% - 30\% = 70\%$ от начальной скорости $v_0$.
$v_k = v_0 - 0,3 v_0 = 0,7 v_0 = 0,7 \cdot 1 = 0,7$ м/с.

На систему после столкновения действует сила трения скольжения, которая создает замедление. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы на ускорение: $F_{равн} = M a$. В данном случае $F_{равн}$ — это сила трения, направленная против движения, $F_{тр} = \mu N$.
Общая масса системы $M = m_ш + m_б = 5m_ш$.
На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $Mg$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось движения:
$-F_{тр} = Ma$
$-\mu N = Ma$
$-\mu Mg = Ma$

Отсюда находим ускорение системы:
$a = -\mu g = -0,17 \cdot 10 = -1,7$ м/с$^2$.

Для нахождения пройденного пути используем формулу для равноускоренного движения, не содержащую время:
$S = \frac{v_k^2 - v_0^2}{2a}$

Подставим числовые значения:
$S = \frac{(0,7)^2 - 1^2}{2 \cdot (-1,7)} = \frac{0,49 - 1}{-3,4} = \frac{-0,51}{-3,4} = 0,15$ м.

Ответ: 0,15 м.