Вариант 5, страница 37 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Физика атомного ядра. Самостоятельная работа № 2. Правила смещения. Закон радиоактивного распада - страница 37.

Условие.

Вариант 5*

1. Изотоп радия с массовым числом 226 превращается в изотоп свинца с массовым числом 206. Сколько при этом происходит $\alpha$- и $\beta$-распадов?

2. При распаде полония-210, масса которого 1 мг, выделилось 5,3 МэВ теплоты. Период полураспада полония 138,4 сут. Определите время, в течение которого происходил процесс распада.

Решение.

1.

Превращение изотопа радия-226 в изотоп свинца-206 можно описать общим уравнением ядерной реакции. Исходный изотоп — радий-226 ($^{226}_{88}Ra$), конечный — свинец-206 ($^{206}_{82}Pb$). Процесс сопровождается испусканием $x$ альфа-частиц ($^4_2He$) и $y$ бета-частиц ($^0_{-1}e$).

Общее уравнение реакции выглядит так:

$ ^{226}_{88}Ra \rightarrow ^{206}_{82}Pb + x \cdot ^4_2He + y \cdot ^0_{-1}e $

Для нахождения $x$ и $y$ воспользуемся законами сохранения массового числа (сумма верхних индексов) и зарядового числа (сумма нижних индексов).

Составим уравнение для массовых чисел:

$ 226 = 206 + x \cdot 4 + y \cdot 0 $

$ 226 - 206 = 4x $

$ 20 = 4x $

$ x = 5 $

Таким образом, в процессе превращения происходит 5 α-распадов.

Теперь составим уравнение для зарядовых чисел, подставив найденное значение $x=5$:

$ 88 = 82 + x \cdot 2 - y \cdot 1 $

$ 88 = 82 + 5 \cdot 2 - y $

$ 88 = 82 + 10 - y $

$ 88 = 92 - y $

$ y = 92 - 88 $

$ y = 4 $

Следовательно, в процессе превращения происходит 4 β-распада.

Ответ: Происходит 5 α-распадов и 4 β-распада.

2.

Дано:

Изотоп: Полоний-210 ($^{210}Po$)
Начальная масса, $m_0 = 1 \text{ мг}$
Выделившаяся теплота, $Q = 5,3 \text{ МэВ}$
Период полураспада, $T_{1/2} = 138,4 \text{ сут}$
Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Молярная масса полония-210, $M = 210 \text{ г/моль}$

$ m_0 = 1 \text{ мг} = 10^{-6} \text{ кг} $
$ Q = 5,3 \text{ МэВ} = 5,3 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 5,3 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 8,49 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $
$ T_{1/2} = 138,4 \text{ сут} = 138,4 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 1,196 \cdot 10^7 \text{ с} $
$ M = 210 \text{ г/моль} = 0,21 \text{ кг/моль} $

Найти:

Время распада, $t$

Решение:

Условие задачи можно интерпретировать следующим образом: общая энергия, выделившаяся в ходе распада, составляет $Q = 5,3 \text{ МэВ}$. Энергия, выделяющаяся при распаде одного ядра полония-210, также составляет примерно эту величину. Будем считать, что энергия одного распада $E_1 = 5,3 \text{ МэВ}$. Тогда мы можем найти число распавшихся за время $t$ ядер $\Delta N$:

$ \Delta N = \frac{Q}{E_1} = \frac{5,3 \text{ МэВ}}{5,3 \text{ МэВ}} = 1 $

Это означает, что за искомое время распалось всего одно ядро. Задача сводится к нахождению времени, за которое в образце с большой вероятностью произойдет первый распад.

Найдем начальное число ядер полония $N_0$ в образце массой $m_0 = 1 \text{ мг}$:

$ N_0 = \frac{m_0}{M} N_A = \frac{10^{-6} \text{ кг}}{0,21 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,868 \cdot 10^{18} $

Закон радиоактивного распада связывает число распавшихся ядер $\Delta N$, начальное число ядер $N_0$ и время $t$:

$ \Delta N = N_0 (1 - e^{-\lambda t}) $

Здесь $\lambda$ — постоянная распада, связанная с периодом полураспада $T_{1/2}$:

$ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{1,196 \cdot 10^7 \text{ с}} \approx 5,79 \cdot 10^{-8} \text{ с}^{-1} $

Подставим $\Delta N = 1$ в закон распада:

$ 1 = N_0 (1 - e^{-\lambda t}) $

$ 1 - e^{-\lambda t} = \frac{1}{N_0} $

Так как $N_0$ — очень большое число, то $1/N_0$ — очень малое. Для малых $x$ можно использовать приближение $1 - e^{-x} \approx x$. В нашем случае $x = \lambda t$.

$ \lambda t \approx \frac{1}{N_0} $

Отсюда выразим время $t$:

$ t \approx \frac{1}{N_0 \lambda} = \frac{1}{2,868 \cdot 10^{18} \cdot 5,79 \cdot 10^{-8} \text{ с}^{-1}} \approx \frac{1}{1,66 \cdot 10^{11}} \text{ с} \approx 6 \cdot 10^{-12} \text{ с} $

Полученное время является средним временем ожидания первого распада в данном образце.

Ответ: $t \approx 6 \cdot 10^{-12} \text{ с}$ (6 пикосекунд).