Вариант 3, страница 36 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Правила смещения. Закон радиоактивного распада. Физика атомного ядра. Квантовая физика - страница 36.

Условие.

Вариант 3

1. Сколько электронов образуется при превращении ядра элемента ${^{97}_{36}}Kr$ в ядро изотопа ${^{97}_{42}}Mo$?

2. Период полураспада некоторого радиоактивного элемента 1600 лет. Через сколько лет его активность уменьшится в 4 раза?

Решение.

1.

Превращение ядра элемента криптона ($_{36}^{97}\text{Kr}$) в ядро изотопа молибдена ($_{42}^{97}\text{Mo}$) представляет собой последовательность бета-распадов. При бета-распаде один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон (бета-частица) и антинейтрино. В результате зарядовое число ядра увеличивается на единицу, а массовое число не изменяется.

Запишем общую схему реакции:

$_{36}^{97}\text{Kr} \rightarrow _{42}^{97}\text{Mo} + x \cdot _{-1}^{0}e + x \cdot \bar{\nu}_e$

где $x$ — количество электронов ($_{-1}^{0}e$), образовавшихся в результате реакции, и $\bar{\nu}_e$ — электронное антинейтрино.

Согласно закону сохранения электрического заряда, сумма зарядовых чисел (нижних индексов) до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции:

$36 = 42 + x \cdot (-1)$

Решим это уравнение относительно $x$:

$36 = 42 - x$

$x = 42 - 36$

$x = 6$

При этом закон сохранения массового числа (верхних индексов) также выполняется: $97 = 97 + 6 \cdot 0$.

Таким образом, для такого превращения необходимо 6 последовательных бета-распадов, в результате которых образуется 6 электронов.

Ответ: образуется 6 электронов.

2.

Дано:

$T_{1/2} = 1600$ лет

$\frac{A_0}{A} = 4$

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Активность $A$ радиоактивного элемента в момент времени $t$ связана с его начальной активностью $A_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ через закон радиоактивного распада:

$A = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

По условию задачи, активность уменьшилась в 4 раза, следовательно, $A = \frac{A_0}{4}$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{A_0}{4} = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сократим обе части уравнения на $A_0$:

$\frac{1}{4} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Представим число $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь уравнение примет вид:

$2^{-2} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Умножив обе части на -1, получим:

$2 = \frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выразим искомое время $t$:

$t = 2 \cdot T_{1/2}$

Подставим известное значение периода полураспада:

$t = 2 \cdot 1600 \text{ лет} = 3200 \text{ лет}$

Ответ: 3200 лет.