Номер 10, страница 20, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*10. Медный шарик, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания. Как изменится период колебаний маятника, если медный шарик заменить алюминиевым такого же радиуса?

Ответ: $T_2 / T_1 = 1,8$.

Дано:

$T_1$ — период колебаний с медным шариком.

$T_2$ — период колебаний с алюминиевым шариком.

$R_1$ — радиус медного шарика.

$R_2$ — радиус алюминиевого шарика.

$R_1 = R_2 = R$

$\text{k}$ — жесткость пружины (остается неизменной).

$\rho_1 = \rho_{м} \approx 8900 \text{ кг/м}^3$ (плотность меди).

$\rho_2 = \rho_{а} \approx 2700 \text{ кг/м}^3$ (плотность алюминия).

Найти:

Как изменится период колебаний, то есть найти отношение $\frac{T_1}{T_2}$.

Решение:

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ где $\text{m}$ — масса груза (шарика), а $\text{k}$ — жесткость пружины.

В первом случае (с медным шариком) период колебаний равен: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Во втором случае (с алюминиевым шариком) период колебаний равен: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Масса шарика может быть выражена через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$: $m = \\rho\cdot V$

Так как по условию радиусы шариков одинаковы ($R_1 = R_2 = R$), то их объемы также равны: $V_1 = V_2 = V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Тогда массы медного и алюминиевого шариков равны: $m_1 = \rho_1 \cdot V$ $m_2 = \rho_2 \cdot V$

Найдем отношение периодов $T_1$ к $T_2$: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}} = \sqrt{\frac{m_1}{k} \cdot \frac{k}{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Подставим выражения для масс в полученное отношение: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{\rho_1 \cdot V}{\rho_2 \cdot V}} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей меди и алюминия: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{8900}{2700}} = \sqrt{\frac{89}{27}} \approx \sqrt{3.296} \approx 1.8155$

Округлив результат до десятых, получаем значение, указанное в ответе к задаче. $\frac{T_1}{T_2} \approx 1.8$

Поскольку отношение $\frac{T_1}{T_2} > 1$, это означает, что $T_1 > T_2$. Следовательно, при замене медного шарика на алюминиевый период колебаний маятника уменьшится.

Ответ: период колебаний уменьшится примерно в 1,8 раза.