Номер 4, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Математический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 6 см. Какую часть периода шарик маятника находится не далее 3 см от положения равновесия?

Ответ: $1/3$ периода.

Дано

Амплитуда колебаний $A = 6$ см

Условие нахождения шарика $ |x| \le 3 $ см

$A = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$x_{max} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Часть периода $\frac{\Delta t}{T}$, в течение которой шарик находится не далее 3 см от положения равновесия.

Решение

Гармонические колебания маятника описываются уравнением смещения $\text{x}$ от положения равновесия в зависимости от времени $\text{t}$. Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент $t=0$ маятник проходил положение равновесия ($x=0$). Тогда уравнение движения будет иметь вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $\text{A}$ — амплитуда колебаний, а $\omega$ — циклическая частота. Циклическая частота связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Нам нужно найти, какую часть периода маятник находится в области, где его смещение по модулю не превышает 3 см, то есть выполняется условие:

$|x(t)| \le 3$

Подставим в это неравенство уравнение движения и значение амплитуды:

$|A \sin(\omega t)| \le 3$

$|6 \sin(\omega t)| \le 3$

Разделим обе части на 6:

$|\sin(\omega t)| \le \frac{3}{6}$

$|\sin(\omega t)| \le \frac{1}{2}$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-\frac{1}{2} \le \sin(\omega t) \le \frac{1}{2}$

Рассмотрим один полный период колебаний, за который фаза $\omega t$ изменяется от 0 до $2\pi$. Условие выполняется в двух интервалах фаз:

1. От $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$. Длительность этого интервала фаз составляет $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

2. От $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$. Длительность этого интервала фаз составляет $\frac{7\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Суммарная длительность фазовых интервалов за один период, в течение которых выполняется условие, равна:

$\Delta\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Полный фазовый угол за один период равен $2\pi$. Чтобы найти, какую часть периода шарик находится в заданной области, нужно найти отношение суммарной длительности "разрешенных" фазовых интервалов к полному фазовому углу периода:

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{\Delta\phi}{2\pi} = \frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}$

Таким образом, шарик маятника находится не далее 3 см от положения равновесия в течение 1/3 своего периода.

Ответ: шарик маятника находится не далее 3 см от положения равновесия в течение $1/3$ периода.