Номер 6, страница 17, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

6. При выполнении каких условий колебания пружинного маятника будут гармоническими? Ответ обоснуйте.

Решение:

Гармоническими называются колебания, при которых координата колеблющегося тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Такое движение возникает тогда, когда на тело действует возвращающая сила, прямо пропорциональная его смещению из положения равновесия и направленная в сторону, противоположную смещению.

Для пружинного маятника (тело массой $\text{m}$ на пружине жесткостью $\text{k}$) можно выделить два основных условия, при которых его колебания будут гармоническими:

1. Сила упругости пружины должна подчиняться закону Гука.

Закон Гука гласит, что сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, пропорциональна величине этой деформации (смещению $\text{x}$ от положения равновесия) и направлена в противоположную сторону: $F_{упр} = -kx$.

Именно такая линейная зависимость силы от смещения приводит к гармоническому закону движения. Если записать второй закон Ньютона для маятника $ma = F$, и единственной силой является сила упругости, то получим $ma = -kx$, или $m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$. Решением этого дифференциального уравнения и являются гармонические колебания $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $\omega = \sqrt{k/m}$. Закон Гука хорошо выполняется только при малых деформациях, поэтому амплитуда колебаний пружинного маятника не должна быть слишком большой, чтобы не выходить за пределы упругости пружины.

2. Силы трения и сопротивления среды должны быть пренебрежимо малы.

В любой реальной системе существуют диссипативные силы (силы, приводящие к потере энергии), такие как трение в точке крепления пружины и сопротивление воздуха. Эти силы всегда направлены против скорости движения и совершают отрицательную работу, из-за чего полная механическая энергия маятника уменьшается. В результате амплитуда колебаний постепенно затухает. Такие колебания называются затухающими, а не гармоническими. Чтобы колебания можно было считать гармоническими, необходимо, чтобы влиянием этих сил можно было пренебречь. В таком случае полная механическая энергия системы сохраняется, и амплитуда колебаний остается постоянной.

Таким образом, пружинный маятник совершает гармонические колебания в идеализированной модели, где пружина считается идеальной (подчиняется закону Гука), а все диссипативные силы отсутствуют.

Ответ: Колебания пружинного маятника будут гармоническими при выполнении двух условий: 1) сила упругости пружины должна подчиняться закону Гука ($F = -kx$), что выполняется при малых амплитудах колебаний; 2) должны отсутствовать или быть пренебрежимо малыми все силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха).