Номер 5, страница 17, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

5. При выполнении каких условий колебания математического маятника будут гармоническими? Ответ обоснуйте.

5. Колебания математического маятника можно считать гармоническими при выполнении двух ключевых условий:

1. Колебания должны происходить при малой амплитуде (малом угле отклонения от положения равновесия).

2. Должны отсутствовать силы, приводящие к затуханию колебаний, такие как трение и сопротивление воздуха.

Обоснование:

Гармоническими называются колебания, при которых возвращающая сила прямо пропорциональна смещению тела от положения равновесия и направлена в противоположную сторону ($F = -kx$). Это приводит к тому, что координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим силы, действующие на груз математического маятника (материальная точка массой $\text{m}$ на невесомой нерастяжимой нити длиной $\text{l}$), отклоненный на угол $\alpha$ от положения равновесия. Возвращающая сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия, — это тангенциальная (касательная к траектории) составляющая силы тяжести:

$F_{возвр} = -mg \sin\alpha$

Знак «минус» указывает, что сила направлена против смещения. Как видно из формулы, возвращающая сила зависит от $\sin\alpha$, а не линейно от самого угла $\alpha$ или от смещения по дуге $s = l\alpha$. Следовательно, в общем случае колебания математического маятника являются периодическими, но не гармоническими.

Однако при малых углах отклонения (на практике, до 5–7°), если выразить угол $\alpha$ в радианах, справедливо приближенное равенство:

$\sin\alpha \approx \alpha$

С учетом этого приближения, формула для возвращающей силы принимает вид:

$F_{возвр} \approx -mg\alpha$

Так как смещение по дуге $s = l\alpha$, то $\alpha = s/l$. Подставим это в выражение для силы:

$F_{возвр} \approx -mg \frac{s}{l} = -\left(\frac{mg}{l}\right)s$

Полученное выражение имеет вид $F = -ks$, где коэффициент жесткости $k = \frac{mg}{l}$ является постоянной величиной. Поскольку при малых углах возвращающая сила становится прямо пропорциональной смещению, колебания можно считать гармоническими. Второе условие (отсутствие трения) необходимо для того, чтобы колебания были незатухающими, что является свойством идеальных гармонических колебаний.

Ответ: Колебания математического маятника будут гармоническими при условии, что амплитуда колебаний мала (угол отклонения от положения равновесия не превышает нескольких градусов) и можно пренебречь силами трения и сопротивления воздуха.