Номер 3, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. За одно и то же время один математический маятник совершил $n_1 = 20$, а второй маятник $n_2 = 40$ колебаний. Как соотносятся их длины?

Ответ: $l_2/l_1 = 4$.

Дано:

Число колебаний первого маятника: $n_1 = 20$

Число колебаний второго маятника: $n_2 = 40$

Время колебаний одинаково: $t_1 = t_2 = t$

Данные являются безразмерными величинами, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Соотношение длин маятников $\frac{l_1}{l_2}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника, то есть время одного полного колебания, определяется по формуле Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ — это длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

С другой стороны, период колебаний можно вычислить, зная общее время колебаний $\text{t}$ и число колебаний $\text{n}$, совершенных за это время: $T = \frac{t}{n}$.

Поскольку левые части уравнений равны (это одна и та же физическая величина - период), мы можем приравнять их правые части: $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{t}{n}$.

Запишем это соотношение для каждого из двух маятников:

Для первого маятника: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = \frac{t}{n_1}$

Для второго маятника: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = \frac{t}{n_2}$

Чтобы найти соотношение длин $l_1$ и $l_2$, разделим выражение для первого маятника на выражение для второго: $\frac{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}} = \frac{\frac{t}{n_1}}{\frac{t}{n_2}}$

После сокращения общих множителей ($2\pi$, $\text{g}$ и $\text{t}$) получаем: $\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{n_2}{n_1}$

Чтобы выразить соотношение длин, возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{l_1}{l_2} = (\frac{n_2}{n_1})^2$

Подставим известные значения $n_1 = 20$ и $n_2 = 40$: $\frac{l_1}{l_2} = (\frac{40}{20})^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, длина первого маятника в 4 раза больше длины второго маятника.

Ответ: $\frac{l_1}{l_2} = 4$.