Номер 5, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*5. Маятниковые часы идут правильно, если длина их маятника равна $l_1 = 0,52$ м. На какое время отстанут часы за сутки, если длина маятника будет равна $l_2 = 0,56$ м?

Ответ: на 54 мин.

Дано:

$l_1 = 0,52$ м (длина маятника для правильного хода часов)

$l_2 = 0,56$ м (новая длина маятника)

$t = 1$ сутки (промежуток времени)

Перевод в систему СИ:

$t = 1 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 86400$ с

Найти:

$\Delta t$ — время, на которое отстанут часы.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Пусть $T_1$ — это период колебаний маятника, при котором часы идут правильно, а $T_2$ — период колебаний при измененной длине.

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Поскольку $l_2 > l_1$, то $T_2 > T_1$. Это означает, что маятник стал колебаться медленнее, и часы будут отставать.

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

За время, которое показывают отстающие часы ($t_{пок}$), они совершают определенное число колебаний $\text{N}$. Это же число колебаний правильные часы совершили бы за время $t_{ист}$. В задаче спрашивается, на какое время часы отстанут за сутки. Эта формулировка может означать, что рассматривается промежуток времени, который покажут сами отстающие часы, равный суткам. Примем эту интерпретацию, так как она приводит к ответу, указанному в задаче.

Пусть $t_{пок} = t = 86400$ с. За это время маятник совершит $\text{N}$ колебаний. Время, которое показывают часы, пропорционально числу колебаний и "эталонному" периоду $T_1$: $t_{пок} = N \cdot T_1$.

Истинное время, которое прошло за $\text{N}$ колебаний с периодом $T_2$, равно $t_{ист} = N \cdot T_2$.

Время, на которое отстали часы, равно разности истинного и показанного времени:

$\Delta t = t_{ист} - t_{пок} = N \cdot T_2 - N \cdot T_1 = N(T_2 - T_1)$

Выразим $\text{N}$ из формулы для показанного времени: $N = \frac{t_{пок}}{T_1}$.

Подставим $\text{N}$ в формулу для $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{t_{пок}}{T_1}(T_2 - T_1) = t_{пок}(\frac{T_2}{T_1} - 1)$

Теперь заменим отношение периодов на отношение длин:

$\Delta t = t_{пок}(\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} - 1)$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = 86400 \cdot (\sqrt{\frac{0,56}{0,52}} - 1) = 86400 \cdot (\sqrt{\frac{14}{13}} - 1)$

$\Delta t \approx 86400 \cdot (\sqrt{1,076923} - 1) \approx 86400 \cdot (1,037749 - 1) = 86400 \cdot 0,037749 \approx 3261,5$ с

Переведем секунды в минуты:

$\Delta t_{мин} = \frac{3261,5}{60} \approx 54,36$ мин

Округляя до целого числа, получаем 54 минуты.

Ответ: часы отстанут на 54 мин.