Номер 2, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Длину нити математического маятника увеличили в два раза. Во сколько раз в результате изменилась частота колебаний?

Ответ: уменьшилась в 1,41 раза.

Дано:

$l_2 = 2 \cdot l_1$, где $l_1$ - начальная длина нити, $l_2$ - конечная длина нити.

Найти:

Во сколько раз изменилась частота колебаний, т.е. найти отношение $\frac{\nu_1}{\nu_2}$ или $\frac{\nu_2}{\nu_1}$.

Решение:

Период колебаний $\text{T}$ математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити маятника, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Из этой формулы видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити: $\nu \sim \frac{1}{\sqrt{l}}$.

Запишем выражение для частоты колебаний в начальном состоянии (с длиной нити $l_1$):

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$

Запишем выражение для частоты колебаний в конечном состоянии (с длиной нити $l_2 = 2l_1$):

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{2l_1}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдем отношение $\frac{\nu_1}{\nu_2}$:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{2l_1}}} = \frac{\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\sqrt{\frac{g}{2l_1}}} = \sqrt{\frac{g/l_1}{g/(2l_1)}} = \sqrt{\frac{g}{l_1} \cdot \frac{2l_1}{g}} = \sqrt{2}$

Таким образом, $\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{2}$, откуда $\nu_2 = \frac{\nu_1}{\sqrt{2}}$.

Это означает, что при увеличении длины нити в 2 раза частота колебаний маятника уменьшается в $\sqrt{2}$ раз.

Вычислим численное значение: $\sqrt{2} \approx 1,4142...$ Округляя до сотых, получаем 1,41.

Ответ:

Частота колебаний уменьшилась в $\sqrt{2}$ раза, то есть примерно в 1,41 раза.