Номер 1.164, страница 26 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.164, страница 26.

Условие.

1.164. Источник тока с ЭДС $`\mathcal{E}`$ и внутренним сопротивлением $`r`$ замкнут на переменный резистор. Сопротивление $`R`$ переменного резистора постепенно увеличивают. Постройте график зависимости:

a) силы тока в цепи от сопротивления $`I(R)`$;

б) напряжения на зажимах источника от сопротивления $`U(R)`$.

Решение.

Дано:

Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$.

Цепь замкнута на переменный резистор с сопротивлением $\text{R}$, которое постепенно увеличивают.

Найти:

Построить графики зависимостей:

а) силы тока в цепи от сопротивления $I(R)$;

б) напряжения на зажимах источника от сопротивления $U(R)$.

Решение:

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$, создаваемая источником с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ во внешней цепи с сопротивлением $\text{R}$, равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Напряжение на зажимах источника $\text{U}$ равно напряжению на внешнем сопротивлении $\text{R}$ и может быть найдено по закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R$

Подставив выражение для тока $\text{I}$, получим зависимость напряжения от внешнего сопротивления:

$U = \frac{\mathcal{E}}{R+r} \cdot R = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$

Теперь проанализируем каждую зависимость и опишем вид графика.

а) силы тока в цепи от сопротивления $I(R)$

Функция зависимости силы тока от внешнего сопротивления имеет вид:

$I(R) = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

где $\mathcal{E}$ и $\text{r}$ — положительные константы. Сопротивление $\text{R}$ изменяется в пределах $R \ge 0$.

1. В начальной точке, при $R=0$ (режим короткого замыкания), сила тока максимальна:

$I(0) = \frac{\mathcal{E}}{0+r} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

График начинается на оси ординат в точке $(0, \mathcal{E}/r)$.

2. С увеличением $\text{R}$ знаменатель дроби $(R+r)$ увеличивается, а значит, вся дробь уменьшается. Таким образом, функция $I(R)$ является убывающей.

3. При бесконечно большом внешнем сопротивлении ($R \to \infty$, режим холостого хода или разрыва цепи), сила тока стремится к нулю:

$\lim_{R \to \infty} I(R) = \lim_{R \to \infty} \frac{\mathcal{E}}{R+r} = 0$

Ось абсцисс ($\text{R}$) является горизонтальной асимптотой графика.

График этой зависимости представляет собой ветвь гиперболы, которая начинается на оси $\text{I}$ в точке $\mathcal{E}/r$ и монотонно убывает, асимптотически приближаясь к оси $\text{R}$.

Ответ: График зависимости силы тока от сопротивления $I(R)$ — это ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(0, \mathcal{E}/r)$, убывает с ростом $\text{R}$ и асимптотически приближается к оси сопротивлений ($I=0$).

б) напряжения на зажимах источника от сопротивления $U(R)$

Функция зависимости напряжения на зажимах источника от внешнего сопротивления имеет вид:

$U(R) = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$

Проанализируем эту функцию при $R \ge 0$.

1. В начальной точке, при $R=0$, напряжение равно нулю:

$U(0) = \frac{\mathcal{E} \cdot 0}{0+r} = 0$

График начинается из начала координат $(0, 0)$.

2. При увеличении $\text{R}$ напряжение $\text{U}$ возрастает. Чтобы убедиться в этом, можно преобразовать выражение:

$U(R) = \frac{\mathcal{E}(R+r-r)}{R+r} = \mathcal{E}\left(1 - \frac{r}{R+r}\right)$

При увеличении $\text{R}$ знаменатель $(R+r)$ растет, дробь $\frac{r}{R+r}$ уменьшается, а значит, выражение в скобках и само напряжение $\text{U}$ увеличиваются.

3. При бесконечно большом внешнем сопротивлении ($R \to \infty$), напряжение стремится к ЭДС источника:

$\lim_{R \to \infty} U(R) = \lim_{R \to \infty} \frac{\mathcal{E}R}{R+r} = \lim_{R \to \infty} \frac{\mathcal{E}}{1 + r/R} = \frac{\mathcal{E}}{1+0} = \mathcal{E}$

Прямая $U = \mathcal{E}$ является горизонтальной асимптотой графика. Напряжение на зажимах стремится к ЭДС, но никогда его не достигает при конечном $\text{R}$.

График этой зависимости представляет собой возрастающую кривую, которая выходит из начала координат и асимптотически приближается к прямой $U=\mathcal{E}$.

Ответ: График зависимости напряжения от сопротивления $U(R)$ — это возрастающая кривая, которая начинается в начале координат $(0, 0)$ и асимптотически приближается к горизонтальной прямой $U = \mathcal{E}$ при $R \to \infty$.