Номер 1.171, страница 27 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.171, страница 27.

Условие.

1.171*. При поочерёдном подключении к полюсам источника тока резисторов сопротивлением 4 и 9 Ом на них выделяется одинаковая мощность. Определите внутреннее сопротивление источника тока.

Решение.

Дано:

$R_1 = 4$ Ом

$R_2 = 9$ Ом

$P_1 = P_2$

Найти:

$\text{r}$ - ?

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$ при подключении к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

где сила тока $\text{I}$ находится по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставив выражение для силы тока в формулу мощности, получим зависимость мощности от внешнего сопротивления:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

По условию задачи, при подключении резисторов с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ выделяется одинаковая мощность $P_1 = P_2$. Запишем это в виде уравнения, используя полученную формулу:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократим обе части уравнения на $\mathcal{E}^2$ (так как ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем это уравнение, чтобы найти $\text{r}$:

$R_1 (R_2+r)^2 = R_2 (R_1+r)^2$

Раскроем скобки:

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сократим одинаковые слагаемые $2R_1R_2r$ в обеих частях:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

Перенесем члены с $r^2$ в левую часть уравнения, а остальные - в правую:

$R_1r^2 - R_2r^2 = R_2R_1^2 - R_1R_2^2$

Вынесем общие множители за скобки:

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, то $R_1 - R_2 \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1R_2$

Отсюда находим внутреннее сопротивление $\text{r}$. Так как сопротивление является физически положительной величиной, мы берем только положительное значение корня:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r = \sqrt{4 \text{ Ом} \cdot 9 \text{ Ом}} = \sqrt{36 \text{ Ом}^2} = 6 \text{ Ом}$

Ответ: 6 Ом.