Номер 1.175, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.175, страница 28.

Условие.

1.175*. На рисунке 1.61 представлен график зависимости мощности, выделяющейся во внешней цепи, от силы тока в цепи. Определите:

а) силу тока короткого замыкания;

б) внутреннее сопротивление источника тока;

в) ЭДС источника.

Рис. 1.61

Решение.

Дано:

График зависимости мощности во внешней цепи $\text{P}$ от силы тока $\text{I}$.

Из графика:

Максимальная мощность $P_{max} = 8$ Вт.

Ток, при котором мощность максимальна, $I_{maxP} = 1$ А.

Сила тока, при которой мощность во внешней цепи равна нулю (при $I \ne 0$), $I_{P=0} = 2$ А.

Найти:

а) $I_{кз}$ - силу тока короткого замыкания.

б) $\text{r}$ - внутреннее сопротивление источника.

в) $\mathcal{E}$ - ЭДС источника.

Решение:

Мощность, выделяющаяся во внешней цепи, определяется формулой $P = I^2 R$, где $\text{I}$ - сила тока в цепи, а $\text{R}$ - сопротивление внешней цепи. Сила тока в цепи с источником ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ определяется законом Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$.

Выразим мощность через параметры источника и силу тока. Из закона Ома для полной цепи имеем $\mathcal{E} = I(R+r) = IR + Ir$. Напряжение на внешней цепи $U = IR = \mathcal{E} - Ir$. Тогда мощность во внешней цепи $P = UI = (\mathcal{E} - Ir)I = \mathcal{E}I - I^2r$. Эта зависимость является квадратичной, что соответствует параболе на графике.

а) Сила тока короткого замыкания ($I_{кз}$) возникает, когда сопротивление внешней цепи $R=0$. При этом мощность, выделяющаяся во внешней цепи, $P = I_{кз}^2 R = I_{кз}^2 \cdot 0 = 0$. Из графика видно, что мощность равна нулю при двух значениях тока: $I=0$ (разрыв цепи, $R \to \infty$) и $I=2$ А. Второе значение как раз и соответствует току короткого замыкания.

Ответ: $I_{кз} = 2$ А.

б) Максимальная мощность во внешней цепи выделяется, когда внешнее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника ($R=r$). При этом сила тока в цепи равна $I_{maxP} = \frac{\mathcal{E}}{R+r} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$.

Ток короткого замыкания равен $I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$. Сравнивая эти два выражения, получаем, что $I_{maxP} = \frac{1}{2}I_{кз}$. Из графика $I_{maxP} = 1$ А, а из пункта а) $I_{кз} = 2$ А. Соотношение $1 \text{ А} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ А}$ выполняется.

Максимальная мощность равна $P_{max} = I_{maxP}^2 R$. Поскольку в этой точке $R=r$, то $P_{max} = I_{maxP}^2 r$.

Из графика $P_{max} = 8$ Вт при $I_{maxP} = 1$ А. Подставим эти значения в формулу:

$8 \text{ Вт} = (1 \text{ А})^2 \cdot r$

$r = \frac{8 \text{ Вт}}{1 \text{ А}^2} = 8 \text{ Ом}$

Ответ: $r = 8$ Ом.

в) ЭДС источника можно найти из формулы для тока короткого замыкания: $I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$.

Отсюда $\mathcal{E} = I_{кз} \cdot r$.

Подставим найденные значения $I_{кз} = 2$ А и $r = 8$ Ом:

$\mathcal{E} = 2 \text{ А} \cdot 8 \text{ Ом} = 16 \text{ В}$

Проверим результат, используя формулу для максимальной мощности $P_{max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$.

$\mathcal{E} = \sqrt{4rP_{max}} = \sqrt{4 \cdot 8 \text{ Ом} \cdot 8 \text{ Вт}} = \sqrt{256} \text{ В} = 16 \text{ В}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $\mathcal{E} = 16$ В.