Номер 1.180, страница 29 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.180, страница 29.

Условие.

1.180*. Одинаковые источники тока с ЭДС $`\mathcal{E}`$ и внутренним сопротивлением $`r`$ соединяют по схеме, изображённой рисунке 1.64. Определите напряжение между точками $`a`$ и $`b`$.

Рис. 1.64

Решение.

а)

Дано:
ЭДС каждого источника: $ℰ$
Внутреннее сопротивление каждого источника: $\text{r}$

Найти:
Напряжение между точками a и b: $U_{ab}$

Решение:
Рассмотрим схему а. Она состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к точкам a и b. Каждая ветвь содержит два последовательно соединенных одинаковых источника тока.

Для верхней ветви суммарная ЭДС равна $ℰ_{верх} = ℰ + ℰ = 2ℰ$, а суммарное внутреннее сопротивление $r_{верх} = r + r = 2r$. Положительный полюс этой "эквивалентной батареи" направлен к точке a.

Для нижней ветви суммарная ЭДС также равна $ℰ_{низ} = ℰ + ℰ = 2ℰ$, а суммарное внутреннее сопротивление $r_{низ} = r + r = 2r$. Однако положительный полюс этой батареи направлен к точке b.

Таким образом, мы имеем две одинаковые по модулю ЭДС и внутреннему сопротивлению батареи, соединенные параллельно, но встречно (в противофазе). Эти две батареи образуют замкнутый контур.

Найдем ток, циркулирующий в этом замкнутом контуре. Согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутого контура, сумма ЭДС равна сумме падений напряжений на сопротивлениях. Так как источники включены встречно, их ЭДС в контуре складываются.

Суммарная ЭДС в контуре: $ℰ_{контура} = ℰ_{верх} + ℰ_{низ} = 2ℰ + 2ℰ = 4ℰ$.
Суммарное сопротивление контура: $r_{контура} = r_{верх} + r_{низ} = 2r + 2r = 4r$.

Сила тока в контуре: $I = \frac{ℰ_{контура}}{r_{контура}} = \frac{4ℰ}{4r} = \frac{ℰ}{r}$.

Теперь найдем напряжение между точками a и b, $U_{ab} = \varphi_a - \varphi_b$. Это напряжение можно найти как напряжение на зажимах верхней или нижней батареи.

Для верхней ветви, ток $\text{I}$ течет от точки a к точке b. Напряжение на зажимах равно ЭДС минус падение напряжения на внутреннем сопротивлении:

$U_{ab} = ℰ_{верх} - I \cdot r_{верх} = 2ℰ - \frac{ℰ}{r} \cdot 2r = 2ℰ - 2ℰ = 0$.

Проверим по нижней ветви. Ток $\text{I}$ течет от точки b к точке a. Напряжение на зажимах:

$U_{ba} = \varphi_b - \varphi_a = ℰ_{низ} - I \cdot r_{низ} = 2ℰ - \frac{ℰ}{r} \cdot 2r = 0$.

Следовательно, $U_{ab} = -U_{ba} = 0$.

Ответ: $U_{ab} = 0$.

б)

Дано:
ЭДС каждого источника: $ℰ$
Внутреннее сопротивление каждого источника: $\text{r}$

Найти:
Напряжение между точками a и b: $U_{ab}$

Решение:
Рассмотрим схему б. Она также состоит из двух параллельных ветвей.

Эквивалентная ЭДС и сопротивление для каждой ветви такие же, как в пункте а:
$ℰ_{ветви} = 2ℰ$
$r_{ветви} = 2r$

В этой схеме обе эквивалентные батареи соединены параллельно и согласно (положительные полюсы соединены в точке a, отрицательные - в точке b).

Напряжение между точками a и b представляет собой напряжение на зажимах этой батареи при разомкнутой внешней цепи (ток во внешней цепи равен нулю).

Поскольку обе параллельные ветви абсолютно идентичны, токи в них будут одинаковы. Если внешняя цепь разомкнута, то ток, выходящий из узла a (или входящий в узел b), равен нулю. Из-за полной симметрии схемы уравнительный ток между ветвями также равен нулю. Следовательно, ток через каждую ветвь равен нулю.

Напряжение на зажимах источника при нулевом токе равно его ЭДС. Найдем напряжение $U_{ab}$ по любой из ветвей:

$U_{ab} = ℰ_{ветви} - I_{ветви} \cdot r_{ветви}$.

Так как ток в ветви $I_{ветви} = 0$:

$U_{ab} = 2ℰ - 0 \cdot 2r = 2ℰ$.

Этот же результат можно получить, найдя параметры эквивалентного источника для всей схемы. Для параллельного соединения двух одинаковых источников с параметрами $ℰ_{ветви}$ и $r_{ветви}$ эквивалентная ЭДС равна ЭДС одного источника, а эквивалентное сопротивление вдвое меньше:

$ℰ_{общ} = ℰ_{ветви} = 2ℰ$
$r_{общ} = \frac{r_{ветви}}{2} = \frac{2r}{2} = r$

Напряжение на зажимах разомкнутого источника равно его ЭДС, то есть $U_{ab} = ℰ_{общ} = 2ℰ$.

Ответ: $U_{ab} = 2ℰ$.