Номер 1.182, страница 30 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.182, страница 30.

Условие.

1.182* Цепь сопротивлением $\text{R}$ питается одновременно от $\text{N}$ одинаковых аккумуляторов. При каком значении внутреннего сопротивления аккумулятора сила тока в цепи будет одинакова при соединении этих аккумуляторов в батарею последовательно и параллельно?

Решение.

Дано:

Сопротивление внешней цепи: $\text{R}$
Количество одинаковых аккумуляторов: $\text{N}$
ЭДС одного аккумулятора: $\mathcal{E}$
Внутреннее сопротивление одного аккумулятора: $\text{r}$
Сила тока при последовательном соединении: $I_{посл}$
Сила тока при параллельном соединении: $I_{пар}$
Условие задачи: $I_{посл} = I_{пар}$

Найти:

$\text{r}$

Решение:

1. Последовательное соединение аккумуляторов.
При последовательном соединении $\text{N}$ одинаковых аккумуляторов общая электродвижущая сила (ЭДС) батареи равна сумме ЭДС отдельных аккумуляторов, а общее внутреннее сопротивление равно сумме их внутренних сопротивлений.
Общая ЭДС: $\mathcal{E}_{посл} = N \mathcal{E}$
Общее внутреннее сопротивление: $r_{посл} = N r$
Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока будет равна:
$I_{посл} = \frac{\mathcal{E}_{посл}}{R + r_{посл}} = \frac{N \mathcal{E}}{R + Nr}$

2. Параллельное соединение аккумуляторов.
При параллельном соединении $\text{N}$ одинаковых аккумуляторов общая ЭДС батареи равна ЭДС одного аккумулятора, а общее внутреннее сопротивление находится как для параллельно соединенных резисторов.
Общая ЭДС: $\mathcal{E}_{пар} = \mathcal{E}$
Общее внутреннее сопротивление: $\frac{1}{r_{пар}} = N \cdot \frac{1}{r} \implies r_{пар} = \frac{r}{N}$
Сила тока в этом случае будет равна:
$I_{пар} = \frac{\mathcal{E}_{пар}}{R + r_{пар}} = \frac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{N}}$

3. Нахождение искомого значения $\text{r}$.
По условию задачи, силы тока в обоих случаях равны: $I_{посл} = I_{пар}$. Приравняем полученные выражения:
$\frac{N \mathcal{E}}{R + Nr} = \frac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{N}}$
Поскольку ЭДС аккумулятора $\mathcal{E} \neq 0$, можно сократить его в обеих частях уравнения:
$\frac{N}{R + Nr} = \frac{1}{R + \frac{r}{N}}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$N \left( R + \frac{r}{N} \right) = 1 \cdot (R + Nr)$
Раскроем скобки в левой части:
$NR + N \cdot \frac{r}{N} = R + Nr$
$NR + r = R + Nr$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{R}$, в левой части, а слагаемые, содержащие $\text{r}$, — в правой:
$NR - R = Nr - r$
Вынесем общие множители за скобки:
$R(N - 1) = r(N - 1)$
Так как рассматривается соединение нескольких аккумуляторов, $N > 1$, следовательно, $(N - 1) \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(N - 1)$:
$r = R$

Ответ: Сила тока в цепи будет одинакова при последовательном и параллельном соединении аккумуляторов, если внутреннее сопротивление одного аккумулятора равно сопротивлению внешней цепи, то есть $r = R$.