Номер 1.177, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.177, страница 28.

Условие.

1.177*. К источнику тока с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключён реостат, сопротивление которого можно изменять в пределах от 0,5 до 6 Ом. При какой силе тока в цепи на реостате выделяется максимальная мощность?

Решение.

Дано:

ЭДС источника тока, $E = 12$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 2$ Ом

Диапазон сопротивления реостата, $R \in [0,5; 6]$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тока $\text{I}$, при которой на реостате выделяется максимальная мощность.

Решение:

Мощность, выделяемая на реостате (внешней нагрузке), определяется по формуле Джоуля-Ленца:

$P = I^2 R$

где $\text{I}$ — сила тока в цепи, а $\text{R}$ — сопротивление реостата.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{E}{R+r}$

где $\text{E}$ — ЭДС источника, $\text{r}$ — его внутреннее сопротивление.

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности, чтобы получить зависимость мощности от сопротивления реостата $\text{R}$:

$P(R) = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}$

Чтобы найти, при каком значении сопротивления $\text{R}$ мощность $\text{P}$ будет максимальной, необходимо исследовать эту функцию на экстремум. Для этого найдём производную функции $P(R)$ по переменной $\text{R}$ и приравняем её к нулю.

$\frac{dP}{dR} = E^2 \frac{(R+r)^2 \cdot \frac{d}{dR}(R) - R \cdot \frac{d}{dR}((R+r)^2)}{((R+r)^2)^2} = E^2 \frac{(R+r)^2 \cdot 1 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = E^2 \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = E^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}$

Приравниваем производную к нулю для нахождения точки экстремума:

$\frac{dP}{dR} = 0 \Rightarrow E^2 \frac{r-R}{(R+r)^3} = 0$

Так как $E \neq 0$ и $R+r > 0$, это равенство выполняется только если числитель равен нулю:

$r-R = 0 \Rightarrow R=r$

Таким образом, максимальная мощность на внешней нагрузке выделяется, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника тока.

Проверим, может ли сопротивление реостата принять такое значение. По условию, внутреннее сопротивление источника $r = 2$ Ом. Диапазон сопротивления реостата — от 0,5 Ом до 6 Ом.

Поскольку значение $R = 2$ Ом находится в пределах $[0,5; 6]$ Ом, то максимальная мощность будет достигаться именно при этом сопротивлении.

Теперь найдём силу тока, соответствующую этому условию. Подставим $R=r$ в закон Ома для полной цепи:

$I = \frac{E}{R+r} = \frac{E}{r+r} = \frac{E}{2r}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$I = \frac{12 \text{ В}}{2 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}} = \frac{12 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = 3 \text{ А}$

Ответ: максимальная мощность на реостате выделяется при силе тока 3 А.