Номер 1.172, страница 27 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.172, страница 27.

Условие.

1.172*. ЭДС источника 2 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом.

a) Найдите силу тока в цепи при выделяющейся на внешней нагрузке мощности 0,75 Вт. Объясните смысл двух ответов.

б) Найдите КПД цепи в каждом случае.

Решение.

Дано:

ЭДС источника, $\mathcal{E} = 2$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 1$ Ом

Мощность на внешней нагрузке, $P_{вн} = 0,75$ Вт

Найти:

а) Силу тока $\text{I}$

б) КПД $\eta$ в каждом случае

Решение:

а) Найдите силу тока в цепи при выделяющейся на внешней нагрузке мощности 0,75 Вт. Объясните смысл двух ответов.

Запишем закон Ома для полной цепи и формулу для мощности, выделяющейся на внешней нагрузке:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$ (1)

$P_{вн} = I^2 R$ (2)

где $\text{I}$ – сила тока, $\mathcal{E}$ – ЭДС источника, $\text{R}$ – сопротивление внешней нагрузки, $\text{r}$ – внутреннее сопротивление.

Напряжение на внешней нагрузке $U = IR$. Из закона Ома для полной цепи $U = \mathcal{E} - Ir$.

Мощность на внешней нагрузке также можно выразить как $P_{вн} = UI$.

Подставим выражение для $\text{U}$:

$P_{вн} = (\mathcal{E} - Ir)I = \mathcal{E}I - I^2r$

Получили квадратное уравнение относительно силы тока $\text{I}$:

$rI^2 - \mathcal{E}I + P_{вн} = 0$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$1 \cdot I^2 - 2 \cdot I + 0,75 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,75 = 4 - 3 = 1$

$I = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 1}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$I_1 = \frac{2 - 1}{2} = 0,5$ А

$I_2 = \frac{2 + 1}{2} = 1,5$ А

Найдём соответствующие значения сопротивления внешней нагрузки $\text{R}$ для каждого случая из формулы (2) $R = P_{вн} / I^2$:

Для $I_1 = 0,5$ А: $R_1 = \frac{0,75}{0,5^2} = \frac{0,75}{0,25} = 3$ Ом.

Для $I_2 = 1,5$ А: $R_2 = \frac{0,75}{1,5^2} = \frac{0,75}{2,25} = \frac{1}{3}$ Ом.

Смысл двух ответов заключается в том, что заданная мощность на внешней нагрузке может быть достигнута при двух разных режимах работы цепи. Зависимость мощности $P_{вн}$ от внешнего сопротивления $\text{R}$ имеет вид $P_{вн}(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$. Эта функция немонотонна: она достигает максимума при $R=r$ (в данном случае 1 Ом). Для любой мощности $P_{вн}$, меньшей максимальной, существует два значения сопротивления, при которых выделяется эта мощность: одно больше внутреннего сопротивления ($R_1 = 3$ Ом $> 1$ Ом), а другое — меньше ($R_2 = 1/3$ Ом $< 1$ Ом). Режиму с большим сопротивлением ($R_1$) соответствует меньший ток ($I_1$), а режиму с меньшим сопротивлением ($R_2$) — больший ток ($I_2$).

Ответ: $I_1 = 0,5$ А, $I_2 = 1,5$ А. Два ответа возможны потому, что одна и та же мощность может выделяться на двух разных внешних сопротивлениях: одно больше внутреннего сопротивления источника, а другое — меньше.

б) Найдите КПД цепи в каждом случае.

Коэффициент полезного действия (КПД) цепи определяется как отношение полезной мощности (на внешней нагрузке) к полной мощности, развиваемой источником:

$\eta = \frac{P_{вн}}{P_{полн}} = \frac{I^2 R}{I^2(R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Также можно использовать формулу $\eta = \frac{U}{\mathcal{E}} = \frac{\mathcal{E} - Ir}{\mathcal{E}} = 1 - \frac{Ir}{\mathcal{E}}$.

Рассчитаем КПД для каждого из найденных случаев:

1. Для тока $I_1 = 0,5$ А (сопротивление $R_1 = 3$ Ом):

$\eta_1 = \frac{R_1}{R_1+r} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4} = 0,75$ или 75%.

2. Для тока $I_2 = 1,5$ А (сопротивление $R_2 = 1/3$ Ом):

$\eta_2 = \frac{R_2}{R_2+r} = \frac{1/3}{1/3+1} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4} = 0,25$ или 25%.

Ответ: 75% и 25%.