Номер 1.173, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.173, страница 28.

Условие.

1.173*. Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ замкнут на реостат. При каком значении сопротивления внешней цепи во внешней цепи выделяется наибольшая мощность? Каков при этом КПД цепи? Постройте графики зависимости от сопротивления внешней цепи:

а) силы тока $I(R)$;

б) напряжения во внешней цепи $U(R)$;

в) мощности во внешней цепи $P(R)$;

г) КПД цепи.

Решение.

Дано:

Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$

Внутреннее сопротивление источника $\text{r}$

Сопротивление внешней цепи (реостата) $\text{R}$

Найти:

1. Значение $\text{R}$, при котором мощность $\text{P}$ во внешней цепи максимальна.

2. КПД $\eta$ при максимальной мощности.

3. Построить графики зависимостей: а) $I(R)$; б) $U(R)$; в) $P(R)$; г) $\eta(R)$.

Решение:

Сила тока в цепи определяется законом Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Мощность, выделяемая во внешней цепи (на реостате), вычисляется по формуле:

$P(R) = I^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Чтобы найти значение $\text{R}$, при котором мощность $\text{P}$ максимальна, необходимо исследовать эту функцию на экстремум. Для этого найдем производную функции $P(R)$ по переменной $\text{R}$ и приравняем ее к нулю.

Используя правило дифференцирования частного, получаем:

$\frac{dP}{dR} = \mathcal{E}^2 \frac{d}{dR} \left( \frac{R}{(R+r)^2} \right) = \mathcal{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{ (R+r)^4 }$

$\frac{dP}{dR} = \mathcal{E}^2 \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = \mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}$

Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):

$r-R=0 \implies R=r$

Таким образом, наибольшая мощность во внешней цепи выделяется, когда сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока.

Теперь найдем КПД цепи в этом режиме. КПД (η) определяется как отношение полезной мощности (выделяемой во внешней цепи) к полной мощности, развиваемой источником:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Подставим условие максимальной мощности $R=r$ в формулу для КПД:

$\eta = \frac{r}{r+r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: Наибольшая мощность во внешней цепи выделяется при сопротивлении внешней цепи, равном внутреннему сопротивлению источника ($R=r$). При этом КПД цепи составляет 50%.

Построим графики зависимостей от сопротивления внешней цепи $\text{R}$.

а) силы тока $I(R)$

Функция имеет вид: $I(R) = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$.
Это убывающая функция. При $R=0$ (короткое замыкание) сила тока максимальна: $I_{max} = \frac{\mathcal{E}}{r}$. При $R \to \infty$ сила тока стремится к нулю: $I \to 0$.
График представляет собой ветвь гиперболы, начинающуюся в точке $(0, \mathcal{E}/r)$ на оси ординат и асимптотически приближающуюся к оси абсцисс.

б) напряжения во внешней цепи $U(R)$

Функция имеет вид: $U(R) = I \cdot R = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$.
Это возрастающая функция. При $R=0$ напряжение равно нулю: $U(0) = 0$. При $R \to \infty$ напряжение асимптотически стремится к ЭДС источника: $U \to \mathcal{E}$. При $R=r$ напряжение равно половине ЭДС: $U(r) = \frac{\mathcal{E}}{2}$.
График начинается в точке (0, 0), возрастает и асимптотически приближается к горизонтальной прямой $U=\mathcal{E}$.

в) мощности во внешней цепи $P(R)$

Функция имеет вид: $P(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$.
При $R=0$ мощность равна нулю: $P(0) = 0$. При $R \to \infty$ мощность также стремится к нулю: $P \to 0$. Функция имеет максимум в точке $R=r$, где значение мощности равно $P_{max} = P(r) = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$.
График начинается в точке (0, 0), возрастает до максимального значения $P_{max}$ при $R=r$, а затем убывает, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.

г) КПД цепи

Функция имеет вид: $\eta(R) = \frac{R}{R+r}$.
Это возрастающая функция. При $R=0$ КПД равен нулю: $\eta(0)=0$. При $R \to \infty$ КПД стремится к 1 (или 100%): $\eta \to 1$. При $R=r$ КПД равен 0.5 (или 50%).
График начинается в точке (0, 0), возрастает и асимптотически приближается к горизонтальной прямой $\eta=1$.