Номер 1.174, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.174, страница 28.

Условие.

1.174*. Источник тока с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ замкнут на реостат. При каком значении силы тока в цепи во внешней цепи выделяется наибольшая мощность? Каков при этом КПД цепи? Постройте графики зависимости от силы тока:

a) напряжения во внешней цепи $U(I)$;

б) мощности во внешней цепи $P(I)$;

в) КПД цепи.

Решение.

Дано:

Источник тока с ЭДС $ \epsilon $ и внутренним сопротивлением $ r $.

Найти:

1. Силу тока $ I $, при которой мощность $ P $ во внешней цепи максимальна.

2. КПД $ \eta $ цепи при этой силе тока.

3. Построить графики зависимостей: а) $ U(I) $; б) $ P(I) $; в) $ \eta(I) $.

Решение:

Сначала найдем значение силы тока, при котором выделяется наибольшая мощность во внешней цепи, и соответствующий КПД.

Запишем закон Ома для полной цепи, где $ R $ — сопротивление реостата (внешней цепи):

$ I = \frac{\epsilon}{R+r} $

Мощность, выделяемая во внешней цепи (полезная мощность), определяется формулой:

$ P = I^2 R $

Чтобы выразить мощность как функцию силы тока, сначала выразим $ R $ из закона Ома для полной цепи:

$ R+r = \frac{\epsilon}{I} \implies R = \frac{\epsilon}{I} - r $

Теперь подставим это выражение для $ R $ в формулу мощности:

$ P(I) = I^2 \left( \frac{\epsilon}{I} - r \right) = \epsilon I - r I^2 $

Для нахождения значения тока, при котором мощность максимальна, необходимо найти экстремум функции $ P(I) $. Для этого возьмем производную $ P(I) $ по $ I $ и приравняем ее к нулю:

$ \frac{dP}{dI} = \frac{d}{dI}(\epsilon I - r I^2) = \epsilon - 2rI $

Приравниваем производную к нулю:

$ \epsilon - 2rI = 0 \implies I = \frac{\epsilon}{2r} $

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную: $ \frac{d^2P}{dI^2} = -2r $. Так как $ r > 0 $, вторая производная отрицательна, что подтверждает, что при данном значении тока мощность максимальна.

Теперь найдем КПД цепи при этом значении тока. КПД ($ \eta $) определяется как отношение полезной мощности к полной мощности, развиваемой источником:

$ \eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r} $

При токе $ I = \frac{\epsilon}{2r} $, сопротивление внешней цепи $ R = \frac{\epsilon}{I} - r = \frac{\epsilon}{\epsilon/(2r)} - r = 2r - r = r $. То есть, максимальная мощность выделяется, когда внешнее сопротивление равно внутреннему.

Подставим $ R=r $ в формулу для КПД:

$ \eta = \frac{r}{r+r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} = 0.5 $

Ответ: Наибольшая мощность во внешней цепи выделяется при силе тока $ I = \frac{\epsilon}{2r} $. При этом КПД цепи составляет 50%.

Теперь построим графики зависимостей.

а) напряжения во внешней цепи U(I)

Напряжение на внешней цепи $ U $ (на клеммах источника) связано с ЭДС и силой тока соотношением:

$ U = \epsilon - Ir $

Это уравнение прямой. Сила тока в цепи может изменяться от $ I=0 $ (режим холостого хода, $ R \to \infty $) до $ I_{кз} = \frac{\epsilon}{r} $ (режим короткого замыкания, $ R=0 $).

Крайние точки графика:

• При $ I=0 $, $ U = \epsilon $.
• При $ I = \frac{\epsilon}{r} $, $ U = \epsilon - \frac{\epsilon}{r}r = 0 $.

Таким образом, график $ U(I) $ представляет собой отрезок прямой, убывающий с ростом тока.

Ответ: Зависимость напряжения от силы тока линейная: $ U(I) = \epsilon - Ir $. График — отрезок прямой, проходящий через точки $ (0, \epsilon) $ и $ (\frac{\epsilon}{r}, 0) $.

б) мощности во внешней цепи P(I)

Как было получено ранее, зависимость мощности от силы тока имеет вид:

$ P(I) = \epsilon I - r I^2 $

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $ I^2 $ отрицателен).

Ключевые точки графика:

• Парабола пересекает ось абсцисс ($ P=0 $) в точках $ I=0 $ и $ I = \frac{\epsilon}{r} $.
• Вершина параболы (максимальная мощность) находится в точке $ I = \frac{\epsilon}{2r} $.
• Значение максимальной мощности: $ P_{max} = \epsilon \left( \frac{\epsilon}{2r} \right) - r \left( \frac{\epsilon}{2r} \right)^2 = \frac{\epsilon^2}{2r} - \frac{\epsilon^2}{4r} = \frac{\epsilon^2}{4r} $.

График $ P(I) $ представляет собой дугу параболы.

Ответ: Зависимость мощности от силы тока квадратичная: $ P(I) = \epsilon I - r I^2 $. График — парабола с ветвями вниз, начинающаяся в точке (0, 0), достигающая максимума $ P_{max}=\frac{\epsilon^2}{4r} $ при $ I=\frac{\epsilon}{2r} $ и заканчивающаяся в точке $ (\frac{\epsilon}{r}, 0) $.

в) КПД цепи

Выразим КПД через силу тока $ I $. КПД — это отношение полезной мощности $ P = UI $ к полной мощности $ P_{полн} = \epsilon I $:

$ \eta = \frac{UI}{\epsilon I} = \frac{U}{\epsilon} $

Подставив выражение для $ U(I) $ из пункта а), получим:

$ \eta(I) = \frac{\epsilon - Ir}{\epsilon} = 1 - \frac{r}{\epsilon} I $

Это линейная зависимость.

Крайние точки графика:

• При $ I=0 $, $ \eta = 1 $ (100%).
• При $ I = \frac{\epsilon}{r} $, $ \eta = 1 - \frac{r}{\epsilon} \frac{\epsilon}{r} = 0 $.

График $ \eta(I) $ представляет собой отрезок прямой, убывающий с ростом тока.

Ответ: Зависимость КПД от силы тока линейная: $ \eta(I) = 1 - \frac{r}{\epsilon} I $. График — отрезок прямой, проходящий через точки $ (0, 1) $ и $ (\frac{\epsilon}{r}, 0) $.