Номер 1.209, страница 35 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.209, страница 35.

Условие.

1.209*. В электрической цепи, изображённой на рисунке 1.85, ЭДС источника тока $12 \text{ В}$, внутреннее сопротивление источника тока $2 \text{ Ом}$, сопротивление лампы $15 \text{ Ом}$, сопротивление амперметра $3 \text{ Ом}$. Незаряженный металлический шар радиусом $5 \text{ см}$ закреплён на изолирующем штативе и подключён в точке В. Определите:

а) заряд, появляющийся на шаре при замыкании ключа;

б) как изменится заряд на шаре, если его подключить к точке А.

Рис. 1.85

Решение.

Дано:

ЭДС источника тока, $E = 12$ В
Внутреннее сопротивление, $r = 2$ Ом
Сопротивление лампы, $R_Л = 15$ Ом
Сопротивление амперметра, $R_А = 3$ Ом
Радиус металлического шара, $R_ш = 5$ см

$R_ш = 0.05$ м

Найти:

а) $q_B$ — заряд на шаре при подключении к точке B.
б) Как изменится заряд на шаре при подключении к точке А.

Решение:

При замыкании ключа в цепи, состоящей из последовательно соединенных лампы и амперметра, потечет ток. Найдем силу тока в цепи, используя закон Ома для полной цепи:

$I = \frac{E}{R_{полн}} = \frac{E}{R_Л + R_А + r}$

Подставим числовые значения:

$I = \frac{12 \text{ В}}{15 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}} = \frac{12 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 0.6 \text{ А}$

Когда незаряженный шар подключают к некоторой точке цепи, он приобретает потенциал этой точки и заряжается. Заряд шара можно найти по формуле $q = C \cdot \phi$, где $\text{C}$ — электроемкость уединенного шара, а $\phi$ — его потенциал. Электроемкость шара радиусом $R_ш$ равна:

$C = 4 \pi \varepsilon_0 R_ш$, где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

а) заряд, появляющийся на шаре при замыкании ключа

Шар подключен к точке В. Найдем потенциал точки В. Примем потенциал отрицательного полюса источника равным нулю ($\phi_- = 0$). Тогда, двигаясь по цепи от отрицательного полюса к точке В через амперметр, получим, что потенциал точки В равен напряжению на амперметре:

$\phi_B = U_А = I \cdot R_А$

$\phi_B = 0.6 \text{ А} \cdot 3 \text{ Ом} = 1.8 \text{ В}$

Теперь найдем заряд, который приобретет шар:

$q_B = C \cdot \phi_B = 4 \pi \varepsilon_0 R_ш \phi_B$

Используя, что $4 \pi \varepsilon_0 = \frac{1}{k}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$, получаем:

$C = \frac{R_ш}{k} = \frac{0.05 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} \approx 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 5.56 \text{ пФ}$

$q_B = 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \cdot 1.8 \text{ В} \approx 10 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} = 10 \text{ пКл}$

Ответ: заряд на шаре будет равен $10 \text{ пКл}$.

б) как изменится заряд на шаре, если его подключить к точке А

Теперь шар подключают к точке А. Сила тока в цепи не изменится и останется равной $I = 0.6 \text{ А}$. Найдем потенциал точки А. Точка А находится между положительным полюсом источника и лампой. Ее потенциал (относительно отрицательного полюса) равен напряжению на внешнем участке цепи:

$\phi_A = U_{внеш} = E - I \cdot r$

$\phi_A = 12 \text{ В} - 0.6 \text{ А} \cdot 2 \text{ Ом} = 12 \text{ В} - 1.2 \text{ В} = 10.8 \text{ В}$

Найдем новый заряд шара $q_A$:

$q_A = C \cdot \phi_A = 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \cdot 10.8 \text{ В} \approx 60 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} = 60 \text{ пКл}$

Сравним заряды: $q_A = 60 \text{ пКл}$ и $q_B = 10 \text{ пКл}$. Заряд шара увеличится.

$\frac{q_A}{q_B} = \frac{60 \text{ пКл}}{10 \text{ пКл}} = 6$

Ответ: заряд на шаре станет равным $60 \text{ пКл}$, то есть увеличится в 6 раз.