Номер 1.206, страница 34 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.206, страница 34.

Условие.

1.206*. Мостовая цепь, схема которой изображена на рисунке 1.82, используется для измерения сопротивлений (мостик Уитстона). Компенсация мостика достигается перемещением скользящего контакта по проволоке реохорда ab: при некотором соотношении длин плеч реохорда $L_1$ и $L_2$ ток через гальванометр не протекает. Зная эталонное сопротивление $R_э$ и длины $L_1$ и $L_2$, вычисляют неизвестное сопротивление $R_x$. Рассчитайте сопротивление $R_x$, если $R_э = 20$ Ом, $L_1 = 14$ см, $L_2 = 36$ см и мост уравновешен.

Рис. 1.82

Решение.

Дано:

$R_э = 20$ Ом

$L_1 = 14$ см

$L_2 = 36$ см

$L_1 = 0.14$ м

$L_2 = 0.36$ м

Найти:

$R_x$

Решение:

Схема, представленная на рисунке, является мостом Уитстона. Мост считается уравновешенным, если ток через гальванометр равен нулю. Это условие выполняется, когда потенциалы в точках подключения гальванометра равны. Для этого необходимо, чтобы отношения сопротивлений в плечах моста были равны.

Сопротивления плеч реохорда $R_1$ и $R_2$ прямо пропорциональны их длинам $L_1$ и $L_2$, так как проволока реохорда однородна (имеет постоянное удельное сопротивление $\rho$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$):

$R_1 = \rho \frac{L_1}{S}$

$R_2 = \rho \frac{L_2}{S}$

Условие равновесия моста Уитстона записывается как:

$\frac{R_э}{R_1} = \frac{R_x}{R_2}$

Подставим выражения для $R_1$ и $R_2$ через их длины:

$\frac{R_э}{\rho \frac{L_1}{S}} = \frac{R_x}{\rho \frac{L_2}{S}}$

Величины $\rho$ и $\text{S}$ сокращаются, и мы получаем простое соотношение для длин:

$\frac{R_э}{L_1} = \frac{R_x}{L_2}$

Выразим из этой формулы неизвестное сопротивление $R_x$:

$R_x = R_э \cdot \frac{L_2}{L_1}$

Подставим данные из условия задачи. Обратите внимание, что так как мы используем отношение длин, их можно подставлять в любых одинаковых единицах измерения (например, в сантиметрах).

$R_x = 20 \text{ Ом} \cdot \frac{36 \text{ см}}{14 \text{ см}} = 20 \cdot \frac{18}{7} \approx 51.428$ Ом

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: $R_x \approx 51.4$ Ом.