Номер 1.211, страница 35 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.211, страница 35.

Условие.

1.211**. Определите разность потенциалов между точками $\text{a}$ и $\text{b}$ (рис. 1.87). Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Рис. 1.87

Решение.

а

Дано:

Схема 'а' (рис. 1.87), ЭДС источника $\mathcal{E}$, емкости $C_1=C$, $C_2=2C$, сопротивления $R_1=R$, $R_2=2R$. Внутреннее сопротивление источника $r=0$.

Найти:

Разность потенциалов $U_{ab} = \phi_a - \phi_b$.

Решение:

В установившемся режиме, когда конденсаторы полностью зарядятся, постоянный ток через ветвь с конденсаторами течь не будет. Ток будет протекать только через ветвь с резисторами.

Резисторы $\text{R}$ и $\text{2R}$ соединены последовательно. Общее сопротивление этой ветви:

$R_{общ} = R + 2R = 3R$.

Сила тока в резистивной ветви по закону Ома для полной цепи (с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением источника, $r=0$):

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{3R}$.

Для определения потенциалов в точках a и b примем потенциал отрицательного полюса источника равным нулю. Тогда потенциал положительного полюса будет равен $\mathcal{E}$.

Найдем потенциал в точке b. Точка b находится между резисторами $\text{R}$ и $\text{2R}$. Её потенциал можно вычислить как потенциал положительного полюса минус падение напряжения на резисторе $\text{R}$:

$\phi_b = \mathcal{E} - I \cdot R = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{3R} \cdot R = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{3} = \frac{2\mathcal{E}}{3}$.

Теперь рассмотрим ветвь с конденсаторами $\text{C}$ и $\text{2C}$. Они соединены последовательно, и общее напряжение на них равно $\mathcal{E}$. Эквивалентная емкость двух последовательно соединенных конденсаторов:

$C_{экв} = \left(\frac{1}{C} + \frac{1}{2C}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{2C}\right)^{-1} = \frac{2C}{3}$.

Заряд на каждом из конденсаторов (так как при последовательном соединении заряды равны) будет:

$Q = C_{экв} \cdot \mathcal{E} = \frac{2C\mathcal{E}}{3}$.

Найдем потенциал в точке a. Точка a находится между конденсаторами $\text{C}$ и $\text{2C}$. Её потенциал можно вычислить как потенциал положительного полюса минус падение напряжения на конденсаторе $\text{C}$:

$U_C = \frac{Q}{C} = \frac{2C\mathcal{E}/3}{C} = \frac{2\mathcal{E}}{3}$.

$\phi_a = \mathcal{E} - U_C = \mathcal{E} - \frac{2\mathcal{E}}{3} = \frac{\mathcal{E}}{3}$.

Искомая разность потенциалов между точками a и b равна:

$U_{ab} = \phi_a - \phi_b = \frac{\mathcal{E}}{3} - \frac{2\mathcal{E}}{3} = -\frac{\mathcal{E}}{3}$.

Ответ: $U_{ab} = -\frac{\mathcal{E}}{3}$.

б

Дано:

Схема 'б' (рис. 1.87), ЭДС источника $\mathcal{E}$, емкость $\text{C}$, сопротивления $\text{R}$, $\text{R}$, $\text{R}$, $\text{2R}$. Внутреннее сопротивление источника $r=0$.

Найти:

Разность потенциалов $U_{ab} = \phi_a - \phi_b$.

Решение:

В установившемся режиме постоянный ток через ветвь с конденсатором $\text{C}$ не течет. Таким образом, для расчета потенциалов мы можем рассматривать только резистивную часть схемы.

Примем потенциал отрицательного полюса источника за ноль, тогда потенциал положительного полюса равен $\mathcal{E}$. Согласно схеме, точка 'a' подключена к положительному полюсу источника, поэтому ее потенциал $\phi_a = \mathcal{E}$.

Для нахождения потенциала точки 'b' определим эквивалентное сопротивление цепи. Обозначим узел между первым резистором $\text{R}$ (от точки а), резистором $\text{2R}$ и вертикальным резистором $\text{R}$ как узел $N_1$.

Участок цепи от узла $N_1$ до отрицательного полюса состоит из двух параллельных ветвей. Первая ветвь содержит резистор $\text{2R}$. Вторая ветвь содержит два последовательно соединенных резистора $\text{R}$ (вертикальный и горизонтальный), проходящих через точку 'b'. Сопротивление второй ветви $R_b = R + R = 2R$.

Эквивалентное сопротивление этих двух параллельных ветвей (между узлом $N_1$ и отрицательным полюсом):

$R_{N1-N} = \frac{(R+R) \cdot 2R}{(R+R) + 2R} = \frac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$.

Это эквивалентное сопротивление $R_{N1-N}$ соединено последовательно с первым резистором $\text{R}$ (между 'a' и $N_1$). Полное эквивалентное сопротивление всей цепи:

$R_{общ} = R + R_{N1-N} = R + R = 2R$.

Общий ток, текущий от источника:

$I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{2R}$.

Этот ток протекает через первый резистор $\text{R}$. Потенциал в узле $N_1$:

$\phi_{N1} = \phi_a - I_{общ} \cdot R = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{2R} \cdot R = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{2} = \frac{\mathcal{E}}{2}$.

Напряжение между узлом $N_1$ и отрицательным полюсом равно $\phi_{N1} = \mathcal{E}/2$. Это напряжение приложено к двум параллельным ветвям, сопротивление каждой из которых равно $\text{2R}$. Следовательно, ток $I_{общ}$ в узле $N_1$ делится поровну между этими ветвями.

Ток, текущий через ветвь с точкой 'b':

$I_b = \frac{I_{общ}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathcal{E}}{2R} = \frac{\mathcal{E}}{4R}$.

Потенциал точки 'b' можно найти, рассчитав падение напряжения на резисторе $\text{R}$, который находится между точкой 'b' и отрицательным полюсом (потенциал которого 0):

$\phi_b = I_b \cdot R = \frac{\mathcal{E}}{4R} \cdot R = \frac{\mathcal{E}}{4}$.

Искомая разность потенциалов:

$U_{ab} = \phi_a - \phi_b = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{4} = \frac{3\mathcal{E}}{4}$.

Ответ: $U_{ab} = \frac{3\mathcal{E}}{4}$.