Номер 1.213, страница 36 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.213, страница 36.

Условие.

1.213**. Определите заряды конденсаторов в схеме, показанной на рисунке 1.89. Внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь.

Рис. 1.89

Решение.

a

Дано:

$C_1 = 2C$, $C_2 = C$, $C_3 = 2C$
$R_1 = R$, $R_2 = R$
ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Найти:

$q_1, q_2, q_3$ - заряды конденсаторов.

Решение

В установившемся режиме, когда конденсаторы полностью заряжены, постоянный ток через них не течет. Таким образом, ток от источника протекает только через последовательно соединенные резисторы $R_1$ и $R_2$.

Общее сопротивление резистивной цепи $R_{общ} = R_1 + R_2 = R + R = 2R$.

Сила тока в цепи, согласно закону Ома: $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{2R}$.

Для определения напряжений на конденсаторах найдем потенциалы в узлах схемы. Примем потенциал отрицательного полюса источника за 0, тогда потенциал положительного полюса будет равен $\mathcal{E}$.

Потенциал левого узла резистивной цепи (к которому подключена обкладка $C_1$) равен $\phi_A = \mathcal{E}$.

Потенциал правого узла резистивной цепи (к которому подключена обкладка $C_3$) равен $\phi_C = 0$.

Потенциал среднего узла (между резисторами, к которому подключена обкладка $C_2$) равен $\phi_B = \phi_A - I \cdot R_1 = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{2R} \cdot R = \frac{\mathcal{E}}{2}$.

Другие обкладки конденсаторов $C_1, C_2, C_3$ соединены в один общий узел D, который является изолированным. Пусть его потенциал равен $\phi_D$. Так как этот узел изолирован, суммарный заряд на подключенных к нему обкладках равен нулю (при условии, что конденсаторы были изначально не заряжены).

Заряд на обкладке конденсатора $C_1$, подключенной к узлу D: $q'_{1} = C_1(\phi_D - \phi_A) = 2C(\phi_D - \mathcal{E})$.

Заряд на обкладке конденсатора $C_2$, подключенной к узлу D: $q'_{2} = C_2(\phi_D - \phi_B) = C(\phi_D - \frac{\mathcal{E}}{2})$.

Заряд на обкладке конденсатора $C_3$, подключенной к узлу D: $q'_{3} = C_3(\phi_D - \phi_C) = 2C(\phi_D - 0) = 2C\phi_D$.

Условие электронейтральности узла D: $q'_{1} + q'_{2} + q'_{3} = 0$.

$2C(\phi_D - \mathcal{E}) + C(\phi_D - \frac{\mathcal{E}}{2}) + 2C\phi_D = 0$.

Сократим на $\text{C}$: $2(\phi_D - \mathcal{E}) + (\phi_D - \frac{\mathcal{E}}{2}) + 2\phi_D = 0$.

$2\phi_D - 2\mathcal{E} + \phi_D - \frac{\mathcal{E}}{2} + 2\phi_D = 0$.

$5\phi_D = 2\mathcal{E} + \frac{\mathcal{E}}{2} = \frac{5\mathcal{E}}{2}$.

Отсюда, $\phi_D = \frac{\mathcal{E}}{2}$.

Теперь можем найти заряды конденсаторов (под зарядом понимается абсолютное значение заряда на любой из обкладок).

Заряд конденсатора $C_1$: $q_1 = C_1 |\phi_A - \phi_D| = 2C |\mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{2}| = 2C \cdot \frac{\mathcal{E}}{2} = C\mathcal{E}$.

Заряд конденсатора $C_2$: $q_2 = C_2 |\phi_B - \phi_D| = C |\frac{\mathcal{E}}{2} - \frac{\mathcal{E}}{2}| = 0$.

Заряд конденсатора $C_3$: $q_3 = C_3 |\phi_D - \phi_C| = 2C |\frac{\mathcal{E}}{2} - 0| = 2C \cdot \frac{\mathcal{E}}{2} = C\mathcal{E}$.

Ответ: Заряды конденсаторов с емкостями 2C, C и 2C равны соответственно $C\mathcal{E}$, 0, $C\mathcal{E}$.

б

Дано:

$C_1 = 2C$, $C_2 = C$, $C_3 = 3C$
$R_1 = R$, $R_2 = 2R$
ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Найти:

$q_1, q_2, q_3$ - заряды конденсаторов.

Решение

Как и в предыдущем случае, в установившемся режиме ток через конденсаторы не протекает. Ток течет через последовательно соединенные резисторы $R_1$ и $R_2$.

Общее сопротивление резистивной цепи $R_{общ} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$.

Сила тока в цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{3R}$.

Найдем потенциалы в узлах схемы, приняв потенциал отрицательного полюса источника за 0.

Потенциал левого узла резистивной цепи (к которому подключена обкладка $C_1$) равен $\phi_A = \mathcal{E}$.

Потенциал правого узла резистивной цепи (к которому подключена обкладка $C_3$) равен $\phi_C = 0$.

Потенциал среднего узла (между резисторами, к которому подключена обкладка $C_2$) равен $\phi_B = \phi_A - I \cdot R_1 = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{3R} \cdot R = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{3} = \frac{2\mathcal{E}}{3}$.

Обкладки конденсаторов $C_1, C_2, C_3$ соединены в изолированный узел D с потенциалом $\phi_D$. Суммарный заряд на подключенных к нему обкладках равен нулю.

Заряд на обкладке конденсатора $C_1$, подключенной к узлу D: $q'_{1} = C_1(\phi_D - \phi_A) = 2C(\phi_D - \mathcal{E})$.

Заряд на обкладке конденсатора $C_2$, подключенной к узлу D: $q'_{2} = C_2(\phi_D - \phi_B) = C(\phi_D - \frac{2\mathcal{E}}{3})$.

Заряд на обкладке конденсатора $C_3$, подключенной к узлу D: $q'_{3} = C_3(\phi_D - \phi_C) = 3C(\phi_D - 0) = 3C\phi_D$.

Условие электронейтральности узла D: $q'_{1} + q'_{2} + q'_{3} = 0$.

$2C(\phi_D - \mathcal{E}) + C(\phi_D - \frac{2\mathcal{E}}{3}) + 3C\phi_D = 0$.

Сократим на $\text{C}$: $2(\phi_D - \mathcal{E}) + (\phi_D - \frac{2\mathcal{E}}{3}) + 3\phi_D = 0$.

$2\phi_D - 2\mathcal{E} + \phi_D - \frac{2\mathcal{E}}{3} + 3\phi_D = 0$.

$6\phi_D = 2\mathcal{E} + \frac{2\mathcal{E}}{3} = \frac{6\mathcal{E} + 2\mathcal{E}}{3} = \frac{8\mathcal{E}}{3}$.

Отсюда, $\phi_D = \frac{8\mathcal{E}}{18} = \frac{4\mathcal{E}}{9}$.

Теперь можем найти заряды конденсаторов.

Заряд конденсатора $C_1$: $q_1 = C_1 |\phi_A - \phi_D| = 2C |\mathcal{E} - \frac{4\mathcal{E}}{9}| = 2C \cdot \frac{5\mathcal{E}}{9} = \frac{10}{9}C\mathcal{E}$.

Заряд конденсатора $C_2$: $q_2 = C_2 |\phi_B - \phi_D| = C |\frac{2\mathcal{E}}{3} - \frac{4\mathcal{E}}{9}| = C |\frac{6\mathcal{E} - 4\mathcal{E}}{9}| = \frac{2}{9}C\mathcal{E}$.

Заряд конденсатора $C_3$: $q_3 = C_3 |\phi_D - \phi_C| = 3C |\frac{4\mathcal{E}}{9} - 0| = 3C \cdot \frac{4\mathcal{E}}{9} = \frac{4}{3}C\mathcal{E}$.

Ответ: Заряды конденсаторов с емкостями 2C, C и 3C равны соответственно $\frac{10}{9}C\mathcal{E}$, $\frac{2}{9}C\mathcal{E}$, $\frac{4}{3}C\mathcal{E}$.