Номер 1.208, страница 34 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.208, страница 34.

Условие.

1.208*. В цепи, схема которой изображена на рисунке 1.84, $R = 40 \text{ кОм}$, $C = 25 \text{ мкФ}$, внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. В момент замыкания ключа конденсатор не заряжен. В таблице представлены результаты измерения силы тока.

Рис. 1.84

t, с: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

I, мкА: 300, 110, 40, 15, 5, 2, 1

Определите:

а) ЭДС источника тока;

б) напряжение на конденсаторе в момент времени 2 с;

в) энергию конденсатора в момент времени 5 с.

Решение.

Дано:

$R = 40 \text{ кОм} = 40 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 4 \cdot 10^4 \text{ Ом}$
$C = 25 \text{ мкФ} = 25 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$I_0 = I(t=0 \text{ с}) = 300 \text{ мкА} = 300 \cdot 10^{-6} \text{ А} = 3 \cdot 10^{-4} \text{ А}$
$I_1 = I(t=2 \text{ с}) = 40 \text{ мкА} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ А} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ А}$
$I_2 = I(t=5 \text{ с}) = 2 \text{ мкА} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ А}$
Внутреннее сопротивление источника $r = 0$.
Начальный заряд конденсатора $q(0) = 0$.

Найти:

а) $\mathcal{E}$ - ЭДС источника тока
б) $U_C(2 \text{ с})$ - напряжение на конденсаторе в момент времени 2 с
в) $W_C(5 \text{ с})$ - энергия конденсатора в момент времени 5 с

Решение:

а)

Согласно второму правилу Кирхгофа для данной цепи, сумма ЭДС равна сумме падений напряжений на элементах цепи в любой момент времени $\text{t}$:
$\mathcal{E} = U_R(t) + U_C(t)$
где $U_R(t) = I(t) \cdot R$ - напряжение на резисторе, а $U_C(t) = q(t)/C$ - напряжение на конденсаторе.
В момент замыкания ключа ($t=0$), конденсатор, по условию, не заряжен, поэтому напряжение на нем равно нулю ($U_C(0) = 0$).
Следовательно, в этот начальный момент времени всё напряжение источника приложено к резистору:
$\mathcal{E} = U_R(0) + U_C(0) = I(0) \cdot R + 0 = I(0) \cdot R$
Из таблицы берем значение тока в момент времени $t=0$: $I(0) = 300 \text{ мкА} = 3 \cdot 10^{-4} \text{ А}$.
Подставляем числовые значения:
$\mathcal{E} = (3 \cdot 10^{-4} \text{ А}) \cdot (4 \cdot 10^4 \text{ Ом}) = 12 \text{ В}$
Ответ: $\mathcal{E} = 12 \text{ В}$.

б)

Напряжение на конденсаторе в любой момент времени $\text{t}$ можно найти из общего уравнения для цепи:
$U_C(t) = \mathcal{E} - U_R(t) = \mathcal{E} - I(t) \cdot R$
Для момента времени $t = 2 \text{ с}$, из таблицы находим соответствующее значение силы тока:
$I(2 \text{ с}) = 40 \text{ мкА} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ А}$
Вычисляем напряжение на конденсаторе:
$U_C(2 \text{ с}) = 12 \text{ В} - (4 \cdot 10^{-5} \text{ А}) \cdot (4 \cdot 10^4 \text{ Ом}) = 12 \text{ В} - 1.6 \text{ В} = 10.4 \text{ В}$
Ответ: $U_C(2 \text{ с}) = 10.4 \text{ В}$.

в)

Энергия, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле:
$W_C = \frac{C U_C^2}{2}$
Сначала найдем напряжение на конденсаторе в момент времени $t = 5 \text{ с}$. Из таблицы берем значение тока для этого момента:
$I(5 \text{ с}) = 2 \text{ мкА} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ А}$
Находим напряжение на конденсаторе:
$U_C(5 \text{ с}) = \mathcal{E} - I(5 \text{ с}) \cdot R = 12 \text{ В} - (2 \cdot 10^{-6} \text{ А}) \cdot (4 \cdot 10^4 \text{ Ом}) = 12 \text{ В} - 0.08 \text{ В} = 11.92 \text{ В}$
Теперь можем рассчитать энергию конденсатора в этот момент времени:
$W_C(5 \text{ с}) = \frac{(25 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (11.92 \text{ В})^2}{2} = \frac{25 \cdot 10^{-6} \cdot 142.0864}{2} \text{ Дж} \approx 1.776 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$
Округляя результат с учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), получаем $1.8 \text{ мДж}$.
Ответ: $W_C(5 \text{ с}) \approx 1.8 \text{ мДж}$.