Номер 1.205, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.205, страница 33.

Условие.

1.205*. Электрическую цепь, схема которой изображена на рисунке 1.81, называют мостовой. В такой цепи при некотором соотношении сопротивлений $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ можно добиться того, что через резистор $R_5$ ток не протекает (мост уравновешен). Найдите соотношение между сопротивлениями резисторов, при котором мост уравновешен.

Рис. 1.81

Решение.

Дано:

Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке (мостовая схема). Цепь состоит из источника ЭДС $\mathcal{E}$ и пяти резисторов с сопротивлениями $R_1, R_2, R_3, R_4$ и $R_5$.

Мост уравновешен, что означает, что ток через резистор $R_5$ не протекает, то есть $I_5 = 0$.

Найти:

Соотношение между сопротивлениями резисторов $R_1, R_2, R_3, R_4$, при котором мост уравновешен.

Решение:

Обозначим узлы на схеме. Пусть узел между резисторами $R_1$ и $R_3$ будет точкой A, а узел между резисторами $R_2$ и $R_4$ — точкой B. Резистор $R_5$ подключен между этими двумя точками A и B.

Условие равновесия моста заключается в том, что ток через резистор $R_5$ равен нулю ($I_5 = 0$). Согласно закону Ома для участка цепи, напряжение между точками A и B равно $U_{AB} = I_5 \cdot R_5$. Если $I_5=0$, то и $U_{AB}=0$.

Отсутствие разности потенциалов между точками A и B означает, что их потенциалы равны:

$\phi_A = \phi_B$

Поскольку ток через $R_5$ не течет, цепь можно рассматривать как две параллельные ветви. Ток, протекающий через резистор $R_1$, также полностью протекает через резистор $R_3$. Обозначим этот ток как $I_1$. Аналогично, ток, протекающий через $R_2$, полностью протекает через $R_4$. Обозначим этот ток как $I_2$.

$I_{R1} = I_{R3} = I_1$

$I_{R2} = I_{R4} = I_2$

Выразим потенциалы точек A и B относительно потенциала $\phi_{top}$ верхнего провода схемы. Падение напряжения на резисторе $R_1$ равно $U_1 = I_1 R_1$, а на резисторе $R_2$ — $U_2 = I_2 R_2$. Тогда:

$\phi_A = \phi_{top} - U_1 = \phi_{top} - I_1 R_1$

$\phi_B = \phi_{top} - U_2 = \phi_{top} - I_2 R_2$

Так как $\phi_A = \phi_B$, мы можем приравнять правые части выражений:

$\phi_{top} - I_1 R_1 = \phi_{top} - I_2 R_2$

Это приводит к первому уравнению:

$I_1 R_1 = I_2 R_2$ (1)

Теперь выразим те же потенциалы A и B относительно потенциала $\phi_{bot}$ нижнего провода схемы. Потенциал в точке A выше потенциала нижнего провода на величину падения напряжения на резисторе $R_3$, то есть на $U_3 = I_1 R_3$. Аналогично для точки B и резистора $R_4$ ($U_4 = I_2 R_4$).

$\phi_A = \phi_{bot} + U_3 = \phi_{bot} + I_1 R_3$

$\phi_B = \phi_{bot} + U_4 = \phi_{bot} + I_2 R_4$

Снова используя условие $\phi_A = \phi_B$:

$\phi_{bot} + I_1 R_3 = \phi_{bot} + I_2 R_4$

Это приводит ко второму уравнению:

$I_1 R_3 = I_2 R_4$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} I_1 R_1 = I_2 R_2 \\ I_1 R_3 = I_2 R_4 \end{cases}$

Для нахождения соотношения между сопротивлениями, разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это позволит исключить неизвестные токи $I_1$ и $I_2$.

$\frac{I_1 R_1}{I_1 R_3} = \frac{I_2 R_2}{I_2 R_4}$

После сокращения токов получаем искомое соотношение для уравновешенного моста:

$\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$

Это соотношение можно также записать в виде $R_1 R_4 = R_2 R_3$, что означает равенство произведений сопротивлений резисторов, расположенных в противоположных плечах моста.

Ответ:

Соотношение между сопротивлениями резисторов, при котором мост уравновешен, имеет вид: $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ или, в эквивалентной форме, $R_1 R_4 = R_2 R_3$.