Номер 1.201, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.201, страница 33.

Условие.

1.201*. Источники тока ($\mathcal{E}_1 = 12 \text{ В}$, $r_1 = 0,5 \text{ Ом}$, $\mathcal{E}_2 = 6 \text{ В}$, $r_2 = 0,5 \text{ Ом}$) подключены к резисторам R1 ($R_1 = 1 \text{ Ом}$) и R2 (рис. 1.77). Найдите сопротивление $R_2$, при котором через источник с ЭДС $\mathcal{E}_2$ ток не протекает.

Рис. 1.77

Решение.

Дано:

ЭДС первого источника, $E_1 = 12$ В
Внутреннее сопротивление первого источника, $r_1 = 0,5$ Ом
ЭДС второго источника, $E_2 = 6$ В
Внутреннее сопротивление второго источника, $r_2 = 0,5$ Ом
Сопротивление первого резистора, $R_1 = 1$ Ом
Ток через второй источник, $I_2 = 0$ А

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сопротивление второго резистора, $R_2$

Решение:

Схема (рис. 1.77) представляет собой четыре параллельно соединенные ветви. Обозначим напряжение между верхним и нижним узлами схемы как $\text{U}$.

По условию задачи, ток через источник с ЭДС $E_2$ не протекает. Это означает, что ток во всей ветви, содержащей этот источник, равен нулю. Запишем закон Ома для этой ветви:

$I_2 = \frac{E_2 - U}{r_2}$

Поскольку $I_2 = 0$, то должно выполняться условие:

$E_2 - U = 0$

Следовательно, напряжение между узлами цепи равно ЭДС второго источника:

$U = E_2 = 6$ В

Теперь применим первый закон Кирхгофа для верхнего узла. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Будем считать токи, вытекающие из узла (текущие вниз), положительными.

$I_{общ} = I_1 + I_{R1} + I_{R2} + I_2 = 0$

где $I_1$, $I_{R1}$, $I_{R2}$ — токи в ветвях с источником $E_1$, резистором $R_1$ и резистором $R_2$ соответственно.

Выразим эти токи через напряжение $\text{U}$ и параметры элементов:

Ток в первой ветви: $I_1 = \frac{E_1 - U}{r_1}$

Ток во второй ветви: $I_{R1} = \frac{U}{R_1}$

Ток в третьей ветви: $I_{R2} = \frac{U}{R_2}$

Ток в четвертой ветви по условию равен нулю: $I_2 = 0$

Подставим выражения для токов в уравнение закона Кирхгофа:

$\frac{E_1 - U}{r_1} + \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + 0 = 0$

Так как мы нашли, что $U = E_2$, подставим это значение в уравнение:

$\frac{E_1 - E_2}{r_1} + \frac{E_2}{R_1} + \frac{E_2}{R_2} = 0$

Выразим из этого уравнения искомое сопротивление $R_2$:

$\frac{E_2}{R_2} = - \left( \frac{E_1 - E_2}{r_1} + \frac{E_2}{R_1} \right)$

$\frac{E_2}{R_2} = \frac{E_2 - E_1}{r_1} - \frac{E_2}{R_1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{6}{R_2} = \frac{6 - 12}{0,5} - \frac{6}{1}$

$\frac{6}{R_2} = \frac{-6}{0,5} - 6$

$\frac{6}{R_2} = -12 - 6$

$\frac{6}{R_2} = -18$

Так... Похоже, где-то ошибка в знаках. Давайте вернемся к уравнению и будем внимательнее. $\frac{E_1 - E_2}{r_1} + \frac{E_2}{R_1} + \frac{E_2}{R_2} = 0$ $\frac{12 - 6}{0,5} + \frac{6}{1} + \frac{6}{R_2} = 0$ $\frac{6}{0,5} + 6 + \frac{6}{R_2} = 0$ $12 + 6 + \frac{6}{R_2} = 0$ $18 + \frac{6}{R_2} = 0$ $\frac{6}{R_2} = -18$ $R_2 = -1/3$ Ом.

Отрицательное сопротивление указывает на ошибку в исходной модели или знаках токов. Пересмотрим направление токов. Если считать токи, втекающие в узел, положительными: Ток $I_1$ от источника $E_1$ втекает в узел, $I_1 = \frac{E_1-U}{r_1}$. Токи $I_{R1}$, $I_{R2}$ вытекают из узла. Ток $I_2$ от источника $E_2$ втекает в узел, $I_2 = \frac{E_2-U}{r_2}$. Уравнение Кирхгофа: $I_1 + I_2 - I_{R1} - I_{R2} = 0$. При $I_2=0$ и $U=E_2$: $\frac{E_1-E_2}{r_1} - \frac{E_2}{R_1} - \frac{E_2}{R_2} = 0$ Подставим значения: $\frac{12-6}{0,5} - \frac{6}{1} - \frac{6}{R_2} = 0$ $\frac{6}{0,5} - 6 - \frac{6}{R_2} = 0$ $12 - 6 - \frac{6}{R_2} = 0$ $6 - \frac{6}{R_2} = 0$ $6 = \frac{6}{R_2}$ $R_2 = 1$ Ом. Этот подход дает физически корректный результат.

Ответ: $R_2 = 1$ Ом.